Exercices types : $$1$$^ère partie - Exercice 2

L'information la courbe $$\mathscr{C_f}$$ passe par le point $$E\left(0;4\right)$$ signifie que l'image de $$0$$ par $$f$$ est égale à $$4$$. On peut alors écrire que : $$f\left(0\right)=4$$
L'information la courbe $$\mathscr{C_f}$$ passe par le point $$H\left(1;5\right)$$ signifie que l'image de $$1$$ par $$f$$ est égale à $$4$$. On peut alors écrire que : $$f\left(1\right)=5$$
Dans un premier temps :
$$f\left(0\right)=4$$ équivaut à :
$$a\times 0^2+b\times 0+c=4$$
Ainsi :
Dans un deuxième temps :
$$f\left(1\right)=5$$ équivaut à :
$$a\times 1^2+b\times 1+c=5$$
$$a+b+c=5$$ . Or nous savons que $$c=4$$
$$a+b+4=5$$
$$a+b=5-4$$
Ainsi :
Dans un troisième temps :
Pour utiliser l'hypothèse que $$f'\left(2\right)=7$$, il nous faut tout d'abord calculer la dérivée de la fonction $$f\left(x\right)=ax^2+bx+c$$.
On a alors : $$f'\left(x\right)=2ax+b$$
Comme $$f'\left(2\right)=7$$ alors :
$$2a\times 2+b=7$$
Ainsi :
Il nous faut donc résoudre le système deux équations à deux inconnues suivant :
$$\left\{ \begin{array}{ccc}a+b & = & 1 \\ 4a+b & = & 7 \end{array}\right.$$
On utilise la méthode par substitution :
$$\left\{ \begin{array}{ccc}{\color{blue}{a}} & = & {\color{blue}{1-b}} \\ 4{\color{blue}{a}}+b & = & 7 \end{array}\right.$$
$$\left\{ \begin{array}{ccc}{\color{blue}{a}} & = & {\color{blue}{1-b}}\\ 4\times \left({\color{blue}{1-b}}\right)+b & = & 7 \end{array}\right.$$
$$\left\{ \begin{array}{ccc}a & = & 1-b \\ 4-4b+b & = & 7 \end{array}\right.$$
$$\left\{ \begin{array}{ccc}a & = & 1-b \\ 4-3b & = & 7 \end{array}\right.$$
$$\left\{ \begin{array}{ccc}a & = & 1-b \\ -3b & = & 7-4 \end{array}\right.$$
$$\left\{ \begin{array}{ccc}a & = & 1-b \\ -3b & = & 3 \end{array}\right.$$
$$\left\{ \begin{array}{ccc}a & = & 1-b \\ b & = & -\frac{3}{3} \end{array}\right.$$
$$\left\{ \begin{array}{ccc}a & = & 1-b \\ b & = & -1 \end{array}\right.$$
$$\left\{ \begin{array}{ccc}a & = & 1-\left(-1\right)\\ b & = & -1 \end{array}\right.$$
Finalement :
Il en résulte donc que :