Exercices types : $$1$$^ère partie - Exercice 1

Pour démontrer que $$f$$ est croissante, nous allons calculer la dérivée de $$f$$ puis étudier le signe de la dérivée de $$f$$ .
Soit $$f\left(x\right)=x^{3} +4x-5$$ .
$$f$$ est dérivable sur $$\mathbb{R}$$ .
Il vient alors que :
.
Nous allons étudier le signe de $$f'$$.
Pour tout réel $$x$$, on sait que :
$$x^{2}\ge 0$$ ainsi $$3x^{2}\ge 0$$ et d'où $$3x^{2} +4\ge 4$$.
Finalement $$3x^{2} +4>0$$
Il en résulte donc que : $$f'\left(x\right)>0$$
Il vient alors que :

$$f\left(1\right)=1^{3} +4\times 1-5$$
$$f\left(1\right)=1 +4-5$$

Intégrons cette information dans le tableau de variation de $$f$$. Il vient que :La fonction $$f$$ étant strictement croissante sur $$\mathbb{R}$$ et s'annulant uniquement pour $$x=1$$ alors, on peut en déduire que :

Si $$x\in \left]-\infty;1\right]$$ alors $$f\left(x\right)\le 0$$

Si $$x\in \left[1;+\infty\right[$$ alors $$f\left(x\right)\ge 0$$

Cela nous permet d'obtenir le tableau de signe de $$f$$ sur $$\mathbb{R}$$.

D'après la question $$2$$, nous savons que :
Il en résulte donc que sur $$x\in \left[1;+\infty\right[$$ on a : $$f\left(x\right)\ge 0$$
Ce qui nous permet d'écrire :
$$f\left(x\right)\ge 0$$ équivaut successivement à :
$$x^{3} +4x-5\ge 0$$
$$x^{3} \ge -4x+5$$ qui s'écrit également $$x^{3}\ge 5-4x$$ .