Comment étudier les variations d'une fonction de la forme $$f\left(x\right)=ax^2+bx+c$$ - Exercice 1

$$f$$ est dérivable sur $$\mathbb{R}$$.
$$f'\left(x\right)=3\times 2x+12$$

Ici la dérivée est une fonction du $$1$$^er degré.
Pour étudier son signe, nous allons résoudre l'inéquation $$f'\left(x\right)\ge 0$$.
En effet, en résolvant $$f'\left(x\right)\ge 0$$, on déterminera ainsi l'intervalle sur lequel la dérivée est positive ou nulle.
Il vient alors que :
$$f'\left(x\right)\ge 0$$ équivaut successivement à
$$6x+12\ge 0$$
$$6x\ge -12$$
$$x\ge \frac{-12}{6}$$
$$x\ge -2$$
Cela signifie que l'on va mettre le signe $$+$$ dans la ligne de $$6x+12$$ lorsque $$x$$ sera supérieur ou égale à $$-2$$.
Il en résulte donc que :

• si $$x\in\left]-\infty;-2\right]$$ alors $$f'\left(x\right)\le0$$ et donc $$f$$ est décroissante sur cet intervalle.
• si $$x\in\left[-2;+\infty\right[$$ alors $$f'\left(x\right)\ge0$$ et donc $$f$$ est croissante sur cet intervalle.

Nous traduisons toutes ces informations dans le tableau de variation ci-dessous :
On a :
$$f\left(-2\right)=3\times\left(-2\right)^{2} +12\times\left(-2\right)-1=-13$$

Nous savons que : $$f'\left(x\right)=-4x+90$$
Ici la dérivée est une fonction du $$1$$^er degré.
Pour étudier son signe, nous allons résoudre l'inéquation $$f'\left(x\right)\ge 0$$.
En effet, en résolvant $$f'\left(x\right)\ge 0$$, on déterminera ainsi l'intervalle sur lequel la dérivée est positive ou nulle.
Il vient alors que :
$$f'\left(x\right)\ge 0$$ équivaut successivement à
$$-4x+90\ge 0$$
$$-4x\ge -90$$
$$x\le \frac{-90}{-4}$$ . $${\color{red}\text{Attention : on change le sens de l'inéquation car on divise par un négatif.}}$$
$$x\le 22,5$$
Cela signifie que l'on va mettre le signe $$+$$ dans la ligne de $$-4x+90$$ lorsque $$x$$ sera inférieur ou égale à $$22,5$$.
Il en résulte donc que :

• si $$x\in\left]-\infty;22,5\right]$$ alors $$f'\left(x\right)\ge0$$ et donc $$f$$ est croissante sur cet intervalle.
• si $$x\in\left[22,5;+\infty\right[$$ alors $$f'\left(x\right)\le0$$ et donc $$f$$ est décroissante sur cet intervalle.

Nous traduisons toutes ces informations dans le tableau de variation ci-dessous :
On a :
$$f\left(22.5\right)=-2\times22.5^{2}+90\times22.5-400=612.5$$

$$f$$ est dérivable sur $$\mathbb{R}$$.
$$f'\left(x\right)=-2x+6$$
Ici la dérivée est une fonction du $$1$$^er degré.
Pour étudier son signe, nous allons résoudre l'inéquation $$f'\left(x\right)\ge 0$$.
En effet, en résolvant $$f'\left(x\right)\ge 0$$, on déterminera ainsi l'intervalle sur lequel la dérivée est positive ou nulle.
Il vient alors que :
$$f'\left(x\right)\ge 0$$ équivaut successivement à
$$-2x+6\ge 0$$
$$-2x\ge -6$$
$$x\le \frac{-6}{-2}$$ $${\color{red}\text{Attention : on change le sens de l'inéquation car on divise par un négatif.}}$$
$$x\le 3$$
Cela signifie que l'on va mettre le signe $$+$$ dans la ligne de $$-2x+6$$ lorsque $$x$$ sera inférieur ou égale à $$3$$.
Il en résulte donc que :

• si $$x\in\left]-\infty;3\right]$$ alors $$f'\left(x\right)\ge0$$ et donc $$f$$ est croissante sur cet intervalle.
• si $$x\in\left[3;+\infty\right[$$ alors $$f'\left(x\right)\le0$$ et donc $$f$$ est décroissante sur cet intervalle.

Nous traduisons toutes ces informations dans le tableau de variation ci-dessous :
On a :
$$f\left(3\right)=-3^{2} +6\times3+2=11$$

$$f$$ est dérivable sur $$\mathbb{R}$$.
$$f'\left(x\right)=4\times 2x-80$$
$$f'\left(x\right)=8x-80$$
Ici la dérivée est une fonction du $$1$$^er degré.
Pour étudier son signe, nous allons résoudre l'inéquation $$f'\left(x\right)\ge 0$$.
En effet, en résolvant $$f'\left(x\right)\ge 0$$, on déterminera ainsi l'intervalle sur lequel la dérivée est positive ou nulle.
Il vient alors que :
$$f'\left(x\right)\ge 0$$ équivaut successivement à
$$8x-80\ge 0$$
$$8x\ge 80$$
$$x\ge \frac{80}{8}$$
$$x\ge 10$$
Cela signifie que l'on va mettre le signe $$+$$ dans la ligne de $$8x-80$$ lorsque $$x$$ sera supérieur ou égale à $$10$$.
Il en résulte donc que :

• si $$x\in\left]-\infty;10\right]$$ alors $$f'\left(x\right)\le0$$ et donc $$f$$ est décroissante sur cet intervalle.
• si $$x\in\left[10;+\infty\right[$$ alors $$f'\left(x\right)\ge0$$ et donc $$f$$ est croissante sur cet intervalle.

Nous traduisons toutes ces informations dans le tableau de variation ci-dessous :
On a :
$$f\left(10\right)=4\times10^{2} -80\times10+7=-393$$