Les suites

Montrer qu'une suite est géométrique : niveau difficile

Exercice 1

Soit (un)\left(u_{n} \right) la suite définie par u0=2u_{0} =2 et pour tout entier naturel nn, on a un+1=3un+0,5nu_{n+1} =3u_{n}+0,5-n .
Soit (vn)\left(v_{n} \right) la suite définie vn=un0,5nv_{n} =u_{n}-0,5n.
1

Démontrer que la suite (vn)\left(v_{n} \right) est géométrique . On précisera la raison et le premier terme.

Correction

Exercice 2

Soit (un)\left(u_{n} \right) la suite définie par u0=1u_{0} =1 et pour tout entier naturel nn, on a un+1=(n+12n+4)unu_{n+1} =\left(\frac{n+1}{2n+4} \right)u_{n} .
Soit (vn)\left(v_{n} \right) la suite définie vn=(n+1)unv_{n} =\left(n+1\right)u_{n}.
1

Démontrer que la suite (vn)\left(v_{n} \right) est géométrique . On précisera la raison et le premier terme.

Correction

Exercice 3

Soient (un)\left(u_{n} \right) et (vn)\left(v_{n} \right) les suites définies par u0=2u_{0} =2 , v0=3v_{0} =3 et pour tout entier naturel nn, on a un+1=3un+2vn5u_{n+1} =\frac{3u_{n} +2v_{n} }{5} et vn+1=2un+3vn5v_{n+1} =\frac{2u_{n} +3v_{n} }{5} .
Soit wn=vnunw_{n} = v_{n}-u_{n}.
1

Démontrer que la suite (wn)\left(w_{n} \right) est géométrique . On précisera la raison et le premier terme.

Correction

Exercice 4

Soit (un)\left(u_{n} \right) et (vn)\left(v_{n} \right) les suites définies par u0=1u_{0} =-1 , u1=12u_{1} =\frac{1}{2} et pour tout entier naturel nn, on a un+2=un+114unu_{n+2} =u_{n+1}-\frac{1}{4}u_{n} .
Soit vn=un+112unv_{n} = u_{n+1}-\frac{1}{2}u_{n}.
1

Démontrer que la suite (vn)\left(v_{n} \right) est géométrique . On précisera la raison et le premier terme.

Correction

Exercice 5

Soit (un)\left(u_{n} \right) et (vn)\left(v_{n} \right) les suites définies par u0=0u_{0} =0 , u1=1u_{1} =1 et pour tout entier naturel nn, on a un+1=un+12nu_{n+1} =u_{n}+\frac{1}{2^{n}}.
Soit vn=un+1unv_{n} = u_{n+1}-u_{n}.
1

Démontrer que la suite (vn)\left(v_{n} \right) est géométrique . On précisera la raison et le premier terme.

Correction
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