Pour tout entier naturel
n, posons la propriété
Pn:0≤un≤4 Etape d'initialisationNous savons que
u0=4 et donc
0≤u0≤4 .
La propriété
P0 est vraie.
Etape d'héréditéOn suppose qu'il existe un entier
k tel que la propriété
Pk soit vraie c'est-à-dire :
0≤uk≤4 et vérifions si la propriété est également vraie au rang
k+1 c'est-à-dire :
0≤uk+1≤4Par hypothèse de récurrence,
0≤uk≤4 , or
f est une fonction croissante sur
[0;4] , ainsi :
f(0)≤f(uk)≤f(4) car
f(uk+1)=ukf(0)≤uk+1≤f(4) 0≤uk+1≤4−5ln(5) 0≤uk+1≤4−5ln(5)≤4 0≤uk+1≤4 Ainsi la propriété
Pk+1 est vraie.
ConclusionPuisque la propriété
P0 est vraie et que nous avons prouvé l'hérédité, on peut en déduire, par le principe de récurrence que pour tout entier naturel
n, on a
Pn vraie, c'est à dire que pour tout entier naturel
n, on a :
un∈[0;4]