Les nombres complexes

Exercices types : Des classiques

Exercice 1

On note C\mathbb{C} l'ensemble des nombres complexes.
On munit le plan complexe d'un repère orthonormé direct (O,u,v)\left(O, \vec{u}, \vec{v}\right).
On considère la fonction ff qui à tout nombre complexe zz associe f(z)=z2+2z+9f\left(z\right)=z^{2}+2z+9.
1

Calculer l'image de 1+i3-1+i\sqrt{3} par la fonction ff.

Correction
2

Résoudre dans C\mathbb{C} l'équation f(z)=5f\left(z\right)=5.

Correction
Soit λ\lambda un nombre réel. On considère l'équation f(z)=λf\left(z\right)=\lambda d'inconnue zz.
3

Déterminer l'ensemble des valeurs de λ\lambda pour lesquelles f(z)=λf\left(z\right)=\lambda admet deux solutions complexes conjuguées.

Correction
Soit (F)\left(F\right) l’ensemble des points du plan complexe dont l’affixe zz vérifie f(z)8=3\left|f\left(z\right)-8\right|=3.
4

Prouver que (F)\left(F\right) est le cercle de centre Ω(1;0)\Omega \left(-1;0\right) et de rayon 3\sqrt{3}.

Correction
Soit zz un nombre complexe, tel que z=x+iyz=x+iyx x et yy sont des nombres réels.
5

Montrer que la forme algébrique de f(z)f\left(z\right) est : x2y2+2x+9+i(2xy+2y)x^{2}-y^{2}+2x+9+i(2xy+2y).

Correction
On note (E)\left(E\right) l’ensemble des points du plan complexe dont l’affixe zz est telle que f(z)f\left(z\right) soit un nombre réel.
6

Montrer que (E)\left(E\right) est la réunion de deux droites D1D_{1} et D2D_{2} dont on précisera les équations.

Correction

Exercice 2

1

Donner les formes exponentielle et trigonométrique des nombres complexes 1+i1+i et 1i1-i.

Correction
Pour tout entier naturel nn, on pose Sn=(1+i)n+(1i)nS_{n}=\left(1+i\right)^{n} +\left(1-i\right)^{n}.
2

Déterminer la forme trigonométrique de SnS_{n}.

Correction
Pour chacune des deux affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse.
3

Pour tout entier naturel nn, le nombre complexe SnS_{n} est un nombre réel.

Correction
4

Il existe une infinité d’entiers naturels nn tels que Sn=0S_{n}=0.

Correction
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