Les nombres complexes

Exercices types : Des classiques

Exercice 1

On note C\mathbb{C} l'ensemble des nombres complexes.
On munit le plan complexe d'un repère orthonormé direct (O,u,v)\left(O, \vec{u}, \vec{v}\right).
On considère la fonction ff qui à tout nombre complexe zz associe f(z)=z2+2z+9f\left(z\right)=z^{2}+2z+9.
1

Calculer l'image de 1+i3-1+i\sqrt{3} par la fonction ff.

Correction
2

Résoudre dans C\mathbb{C} l'équation f(z)=5f\left(z\right)=5.

Correction
Soit λ\lambda un nombre réel. On considère l'équation f(z)=λf\left(z\right)=\lambda d'inconnue zz.
3

Déterminer l'ensemble des valeurs de λ\lambda pour lesquelles f(z)=λf\left(z\right)=\lambda admet deux solutions complexes conjuguées.

Correction
Soit (F)\left(F\right) l’ensemble des points du plan complexe dont l’affixe zz vérifie f(z)8=3\left|f\left(z\right)-8\right|=3.
4

Prouver que (F)\left(F\right) est le cercle de centre Ω(1;0)\Omega \left(-1;0\right) et de rayon 3\sqrt{3}.

Correction
Soit zz un nombre complexe, tel que z=x+iyz=x+iyx x et yy sont des nombres réels.
5

Montrer que la forme algébrique de f(z)f\left(z\right) est : x2y2+2x+9+i(2xy+2y)x^{2}-y^{2}+2x+9+i(2xy+2y).

Correction
On note (E)\left(E\right) l’ensemble des points du plan complexe dont l’affixe zz est telle que f(z)f\left(z\right) soit un nombre réel.
6

Montrer que (E)\left(E\right) est la réunion de deux droites D1D_{1} et D2D_{2} dont on précisera les équations.

Correction

Exercice 2

1

Donner les formes exponentielle et trigonométrique des nombres complexes 1+i1+i et 1i1-i.

Correction
Pour tout entier naturel nn, on pose Sn=(1+i)n+(1i)nS_{n}=\left(1+i\right)^{n} +\left(1-i\right)^{n}.
2

Déterminer la forme trigonométrique de SnS_{n}.

Correction
Pour chacune des deux affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse.
3

Pour tout entier naturel nn, le nombre complexe SnS_{n} est un nombre réel.

Correction
4

Il existe une infinité d’entiers naturels nn tels que Sn=0S_{n}=0.

Correction

Exercice 3

On note C\mathbb{C} l'ensemble des nombres complexes.
On munit le plan complexe d'un repère orthonormé direct (O,u,v)\left(O, \vec{u}, \vec{v}\right).
Les points AA, BB et CC ont pour affixes respectives a=4a=-4, b=2b=2 et c=4c =4.
On considère les trois points AA', BB' et CC' d’affixes respectives a=jaa'=ja, b=jbb'=jb et c=jcc'=jcjj est le nombre complexe 12+i32-\frac{1}{2} +i\frac{\sqrt{3} }{2} .
1

Donner la forme trigonométrique et la forme exponentielle de jj.

Correction
2

En déduire les formes algébriques et exponentielles de aa', bb' et cc'.

Correction
Les points AA, BB et CC ainsi que les cercles de centre OO et de rayon 22, 33 et 44 sont représentés sur le graphique ci-dessous.
3

Placer les points AA', BB' et CC' sur ce graphique.

Correction
4

Montrer que les points AA', BB' et CC' sont alignés.

Correction
On note MM le milieu du segment [AC]\left[A'C\right], NN le milieu du segment [CC]\left[C'C\right] et PP le milieu du segment [CA]\left[C'A\right].
5

Démontrer que le triangle MNPMNP est isocèle.

Correction
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