Exercice 1 - Exercice 1

La proposition est fausse.
Commençons par donner la forme exponentielle de $$z=2-2i$$.
Pour cela , nous devons calculer le module et l'argument de $$z$$.
Nous allons donner le résultat directement. Si vous rencontrez des difficultés reportez-vous à la fiche d'exercice.
Ainsi : $$\left|z\right|=\sqrt{8} =2\sqrt{2}$$ et $$\arg \left(z\right)=-\frac{\pi }{4} \left[2\pi \right]$$
Il vient alors que : l'écriture exponentielle de $$z$$ est $$z=2\sqrt{2} e^{-i\frac{\pi }{4} }$$
On en déduit que :
$$z^{100} =\left(2\sqrt{2} e^{-i\frac{\pi }{4} } \right)^{100}$$
$$z^{100} =\left(2\sqrt{2} \right)^{100} \times \left(e^{-i\frac{\pi }{4} } \right)^{100}$$ car $$\left(a\times b\right)^{n} =a^{n} \times b^{n}$$
$$z^{100} =\left(2\sqrt{2} \right)^{100} \times e^{-i\frac{100\pi }{4} }$$ car : $$\left(e^{a} \right)^{b} =e^{a\times b}$$
$$z^{100} =\left(2\sqrt{2} \right)^{100} \times e^{-25i\pi }$$ (on a simplifié)
Maintenant on donne une mesure principale de $$-25\pi$$.
Ainsi $$-25\pi =-\pi -24\pi$$
Il vient alors que :
$$z^{100} =\left(2\sqrt{2} \right)^{100} \times e^{-i\pi }$$. Or $$e^{i\theta } =\cos \left(\theta \right)+i\sin \left(\theta \right)$$
Ainsi :
$$z^{100} =\left(2\sqrt{2} \right)^{100} \times \left(\cos \left(-\pi \right)+i\sin \left(-\pi \right)\right)$$
$$z^{100} =\left(2\sqrt{2} \right)^{100} \times \left(-1+i\times 0\right)$$

Il en résulte que $$z^{100} =2-2i$$ est un réel.

La proposition est fausse.

On définit les points $$A$$ et $$B$$ du plan complexe d'affixes $$z_{A} =2i$$ et $$z_{B} =-4i$$ alors :
$$\left|z-2i\right|=\left|z+4i\right|$$ équivaut successivement à :
$$\left|z-z_{A} \right|=\left|z-z_{B} \right|$$
$$AM=BM$$
L'ensemble des points $$M$$ est donc la médiatrice du segment $$\left[AB\right]$$.
Lorsque nous plaçons les points $$A$$ et $$B$$ dans le plan complexe, on vérifie facilement que la médiatrice du segment $$\left[AB\right]$$ est parallèle à l'axe des abscisses.

La proposition est Vraie.
On commence par calculer $$\left|1+i\right|=\sqrt{2}$$
On définit le point $$C$$ du plan complexe d'affixe $$z_{C} =-2-i$$ alors :
$$\left|z+2+i\right|=\left|1+i\right|$$ équivaut successivement à :
$$\left|z-z_{C} \right|=\sqrt{2}$$
$$CM=\sqrt{2}$$
L'ensemble des points $$M$$ est donc le cercle de centre $$C$$, d'affixe $$z_{C} =-2-i$$ , et de rayon $$\sqrt{2}$$.
Il en résulte que l'équation cartésienne du cercle est alors :
$$\left(x+2\right)^{2} +\left(y+1\right)^{2} =\left(\sqrt{2} \right)^{2}$$

La proposition est fausse.
Dans un premier temps, il faut placer les points sur le plan complexe.
On conjecture ainsi que le triangle serait rectangle en $$D$$.
Il y a plusieurs manières de répondre à la question.
Méthode 1
En calculant les mesures des 3 cotés et en appliquant la réciproque du théorème de Pythagore.
$$DE=\left|z_{E} -z_{D} \right|=\left|3-4i-\left(8-2i\right)\right|=\left|-5-2i\right|=\sqrt{29}$$
$$OD=\left|z_{D} -z_{O} \right|=\left|3-4i-0\right|=5$$
$$OE=\left|z_{E} -z_{O} \right|=\left|8-2i-0\right|=\sqrt{68}$$
Or : $$OE^{2} \ne OD^{2} +DE^{2}$$ .
Le triangle n'est donc ni rectangle ni isocèle.
Méthode 2
On calcule le rapport : $$\frac{z_{E} -z_{D} }{z_{O} -z_{D} }$$. (nous mettons $$z_{D}$$ à la fois au numérateur et au dénominateur car le triangle serait rectangle en $$D$$).
Il faudra ensuite obtenir un imaginaire pur en résultat algébrique.
En effet, si le résultat est un imaginaire pur alors son argument est égale à $$\frac{\pi }{2} \left[\pi \right]$$.
Et si $$\arg \left(\frac{z_{E} -z_{D} }{z_{O} -z_{D} } \right)=\frac{\pi }{2} \left[\pi \right]$$ alors $$\left(\vec{DO} ;\vec{DE} \right)=\frac{\pi }{2} \left[\pi \right]$$.
Autrement dit le triangle serait rectangle en $$D$$.
Ainsi : $$D$$ le point d'affixe $$3-4i$$ et $$E$$ le point d'affixe $$8-2i$$.
$$\frac{z_{E} -z_{D} }{z_{O} -z_{D} } =\frac{8-2i-\left(3-4i\right)}{-\left(3-4i\right)}$$
$$\frac{z_{E} -z_{D} }{z_{O} -z_{D} } =\frac{8-2i-3+4i}{-3+4i}$$
$$\frac{z_{E} -z_{D} }{z_{O} -z_{D} } =\frac{5+2i}{-3+4i} .$$
On multiplie par le conjugué du dénominateur au numérateur et dénominateur, il vient :
$$\frac{z_{E} -z_{D} }{z_{O} -z_{D} } =\frac{\left(5+2i\right)\times \left(-3-4i\right)}{\left(-3+4i\right)\times \left(-3-4i\right)}$$
$$\frac{z_{E} -z_{D} }{z_{O} -z_{D} } =\frac{-7}{25} -\frac{26}{25} i$$, ce n'est donc pas un imaginaire pur.
Le triangle n'est donc pas rectangle.

La proposition est vraie.
Il faut calculer les vecteurs $$\vec{AD}$$ et $$\vec{BC}$$ puis vérifiez s'ils sont bien égaux.
$$\vec{AD} =z_{\vec{AD} } =d-a=-1+3i-\left(-1-i\right)=4i$$
$$\vec{BC} =z_{\vec{BC} } =c-b=3+5i-\left(3+i\right)=4i$$
Ainsi : $$\vec{AD} =\vec{BC}$$ donc $$ABCD$$ est un parallélogramme.

La proposition est vraie.
$$Z=e^{2i\theta } -\frac{1}{e^{2i\theta } }$$ équivaut successivement à :
$$Z=e^{2i\theta } -e^{-2i\theta }$$ (on utilise le rappel)
$$Z=\cos \left(2\theta \right)+i\sin \left(2\theta \right)-\left(\cos \left(-2\theta \right)+i\sin \left(-2\theta \right)\right)$$
$$Z=\cos \left(2\theta \right)+i\sin \left(2\theta \right)-\left(\cos \left(2\theta \right)-i\sin \left(2\theta \right)\right)$$ (on utilise à nouveau le rappel)
$$Z=\cos \left(2\theta \right)+i\sin \left(2\theta \right)-\cos \left(2\theta \right)+i\sin \left(2\theta \right)$$

La proposition est fausse.
$$\left|Z\right|=1$$ équivaut successivement à :
$$\left|\frac{2z-4i}{2z-6} \right|=1$$
$$\frac{\left|2z-4i\right|}{\left|2z-6\right|} =1$$
$$\left|2z-4i\right|=\left|2z-6\right|$$
$$\left|2\times \left(z-2i\right)\right|=\left|2\times \left(z-3\right)\right|$$ Or $$\left|a\times b\right|=\left|a\right|\times \left|a\right|$$
$$\left|2\right|\times \left|z-2i\right|=\left|2\right|\times \left|z-3\right|$$
$$2\times \left|z-2i\right|=2\times \left|z-3\right|$$
$$\left|z-2i\right|=\left|z-3\right|$$
On définit les points $$A$$ et $$B$$ du plan complexe d'affixes $$z_{A} =2i$$ et $$z_{B} =3$$ alors :
$$\left|z-2i\right|=\left|z-3\right|$$ équivaut successivement à :
$$\left|z-z_{A} \right|=\left|z-z_{B} \right|$$
$$AM=BM$$
L'ensemble des points $$M$$ est donc la médiatrice du segment $$\left[AB\right]$$.

La proposition est fausse.
Si les points $$A,B,C$$ sont sur le cercle de centre $$D$$ alors les distances $$AD$$, $$BD$$ et $$CD$$ seront égales.
$$AD=\left|z_{D} -z_{A} \right|=\left|-1+3i-\left(3+i\right)\right|=\left|-1+3i-3-i\right|=\sqrt{20}$$
$$BD=\left|z_{D} -z_{B} \right|=\left|-1+3i-4\right|=\left|-5+3i\right|=\sqrt{34}$$
$$CD=\left|z_{D} -z_{C} \right|=\left|-1+3i-\left(2-i\right)\right|=\left|-1+3i-2+i\right|=\left|-3+4i\right|=5$$
Nous remarquons que les trois distances ne sont pas égales donc les points $$A,B,C$$ ne sont pas sur le cercle de centre $$D$$.

La proposition est fausse.
$$A=j+j^{2} +j^{3}$$ équivaut successivement à :
$$A=j\times \left(1+j+j^{2} \right)$$
On développe d'une part : $$1+j+j^{2}$$
$$1+j+j^{2} =1+\left(-\frac{1}{2} +i\frac{\sqrt{3} }{2} \right)+\left(-\frac{1}{2} +i\frac{\sqrt{3} }{2} \right)^{2}$$
On obtient alors :
$$1+j+j^{2} =0$$
Donc :

La proposition est vraie.
Il s'agit d'une équation du second degré.
Nous allons utiliser le discriminant.
$$z^{2} =-4z-5$$
$$z^{2} +4z+5=0$$
$$\Delta =4^{2} -4\times 5=-4$$
$$\Delta <0$$, il existe donc deux racines complexes conjuguées.

La proposition est fausse.
Dans le cas où nous avons une équation avec du $$z$$ et du $$\overline{z}$$, il faut poser $$z=x+iy$$ et $$\overline{z}=x-iy$$
$$2\bar{z}+3z=5-6i$$ équivaut successivement à :
$$2\left(x-iy\right)+3\left(x+iy\right)=5-6i$$
$$2x-2iy+3x+3iy=5-6i$$
$$5x+iy=5-6i$$
Par identification, on a :
$$\left\{\begin{array}{ccc} {5x} & {=} & {5} \\ {y} & {=} & {-6} \end{array}\right.$$
$$\left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {1} \\ {y} & {=} & {-6} \end{array}\right.$$
Finalement la solution de l'équation est alors $$z=1-6i$$ et $$z$$ n'est pas une solution imaginaire pure.

La proposition est fausse.
Nous allons dans un premier temps montrer que la suite $$\left(r_{n} \right)$$ est une suite géométrique.
On sait que $$r_{n} =\left|z_{n} \right|$$
D'où :
$$r_{n+1} =\left|z_{n+1} \right|$$
$$r_{n+1} =\left|\left(2+2i\right)z_{n} \right|$$
Or $$\left|a\times b\right|=\left|a\right|\times \left|b\right|$$, donc
$$r_{n+1} =\left|2+2i\right|\times \left|z_{n} \right|$$
On calcule $$\left|2+2i\right|=\sqrt{8} =2\sqrt{2}$$
$$r_{n+1} =2\sqrt{2} \times \left|z_{n} \right|$$

Il en résulte que $$\left(r_{n} \right)$$ est une suite géométrique de raison $$q=2\sqrt{2}$$
Calculons le premier terme de la suite$$\left(r_{n} \right)$$.
$$r_{0} =\left|z_{0} \right|$$, or $$z_{0} =1$$ donc $$r_{0} =\left|z_{0} \right|=1$$
Nous pouvons maintenant exprimer $$r_{n}$$ en fonction de $$n$$. Il vient alors que :
$$r_{n} =r_{0} \times q^{n}$$
$$r_{n} =\left(2\sqrt{2} \right)^{n}$$
Calculons maintenant $$\lim\limits_{n\to +\infty } r_{n} =\lim\limits_{n\to +\infty } \left(2\sqrt{2} \right)^{n}$$.
$$2\sqrt{2} >1$$d'où $$\lim\limits_{n\to +\infty } \left(2\sqrt{2} \right)^{n} =+\infty$$.
La suite $$\left(r_{n} \right)$$ est divergente.

La proposition est fausse.

Soit le point $$A$$ d'affixe $$z_{A} =2+i$$
$$\arg \left(z-2-i\right)=\frac{\pi }{4}$$ équivaut successivement à :
$$\arg \left(z-z_{A} \right)=\frac{\pi }{4}$$
$$\left(\vec{u} ;\vec{AM} \right)=\frac{\pi }{4}$$
$$M$$ est donc un point de la demi-droite passant par $$A$$ et faisant l'angle $$\frac{\pi }{4}$$ avec le vecteur $$\vec{u}$$ (privée du point $$A$$)

La proposition est fausse.
Comme $$i^{2}=-1$$ alors :
$$\left|i\overline{z}-1\right|=\left|i\overline{z}+i^{2} \right|$$ équivaut successivement à :
$$\left|i\overline{z}-1\right|=\left|i\left(\overline{z}+i\right)\right|$$
$$\left|i\overline{z}-1\right|=\left|i\right|\times \left|\overline{z}+i\right|$$ . Or $$\left|i\right|=1$$, d'où :
$$\left|i\overline{z}-1\right|=\left|\overline{z}+i\right|$$
$$\left|i\overline{z}-1\right|=\left|\overline{\overline{z}+i}\right|$$

La proposition est fausse.

$$e^{i\frac{\pi }{4} } +e^{i\frac{3\pi }{4} } =\cos \left(\frac{\pi }{4} \right)+i\sin \left(\frac{\pi }{4} \right)+\cos \left(\frac{3\pi }{4} \right)+i\sin \left(\frac{3\pi }{4} \right)$$
$$e^{i\frac{\pi }{4} } +e^{i\frac{3\pi }{4} } =\frac{\sqrt{2} }{2} +i\frac{\sqrt{2} }{2} -\frac{\sqrt{2} }{2} +i\frac{\sqrt{2} }{2}$$
$$e^{i\frac{\pi }{4} } +e^{i\frac{3\pi }{4} } =2i\frac{\sqrt{2} }{2}$$

La proposition est vraie.
$$z=\frac{-2+i}{2+3i}$$
$$z=\frac{\left(-2+i\right)\left(2-3i\right)}{\left(2+3i\right)\left(2-3i\right)}$$
$$z=\frac{-2\times 2-2\times \left(-3i\right)+i\times 2+i\times \left(-3i\right)}{2^{2} +3^{2} }$$
$$z=\frac{-4+6i+2i-3i^{2} }{2^{2} +3^{2} }$$
$$z=\frac{-4+6i+2i-3\times \left(-1\right)}{13}$$
$$z=\frac{-4+6i+2i-3\times \left(-1\right)}{13}$$
$$z=\frac{-4+6i+2i+3}{13}$$