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Les nombres complexes
Des complexes et des suites : A la mode au BAC - Exercice 1
15 min
20
On considère la suite de nombres complexes
(
z
n
)
\left(z_{n}\right)
(
z
n
)
définie par
z
0
=
−
4
z_{0}=-4
z
0
=
−
4
et pour tout entier naturel
n
n
n
,
z
n
+
1
=
(
2
+
3
i
)
z
n
z_{n+1}=\left(\sqrt{2} +\sqrt{3} i\right)z_{n}
z
n
+
1
=
(
2
+
3
i
)
z
n
Question 1
Pour tout entier naturel
n
n
n
, on pose
u
n
=
∣
z
n
∣
u_{n} =\left|z_{n} \right|
u
n
=
∣
z
n
∣
Démontrer que
(
u
n
)
\left(u_{n}\right)
(
u
n
)
est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.
Correction
u
n
=
∣
z
n
∣
u_{n} =\left|z_{n} \right|
u
n
=
∣
z
n
∣
u
n
+
1
=
∣
z
n
+
1
∣
u_{n+1} =\left|z_{n+1} \right|
u
n
+
1
=
∣
z
n
+
1
∣
u
n
+
1
=
∣
(
2
+
3
i
)
z
n
∣
u_{n+1} =\left|\left(\sqrt{2} +\sqrt{3} i\right)z_{n} \right|
u
n
+
1
=
∣
∣
(
2
+
3
i
)
z
n
∣
∣
u
n
+
1
=
∣
2
+
3
i
∣
×
∣
z
n
∣
u_{n+1} =\left|\sqrt{2} +\sqrt{3} i\right|\times \left|z_{n} \right|
u
n
+
1
=
∣
∣
2
+
3
i
∣
∣
×
∣
z
n
∣
u
n
+
1
=
(
2
)
2
+
(
3
)
2
×
∣
z
n
∣
u_{n+1} =\sqrt{\left(\sqrt{2} \right)^{2} +\left(\sqrt{3} \right)^{2} } \times \left|z_{n} \right|
u
n
+
1
=
(
2
)
2
+
(
3
)
2
×
∣
z
n
∣
u
n
+
1
=
5
×
∣
z
n
∣
u_{n+1} =\sqrt{5 } \times \left|z_{n} \right|
u
n
+
1
=
5
×
∣
z
n
∣
. Or
u
n
=
∣
z
n
∣
u_{n} =\left|z_{n} \right|
u
n
=
∣
z
n
∣
. Il vient alors que :
u
n
+
1
=
5
×
u
n
u_{n+1} =\sqrt{5} \times u_{n}
u
n
+
1
=
5
×
u
n
(
u
n
)
\left(u_{n}\right)
(
u
n
)
est une suite géométrique de raison
5
\sqrt{5}
5
et de premier terme
u
0
=
∣
z
0
∣
u_{0} =\left|z_{0} \right|
u
0
=
∣
z
0
∣
. Ainsi le premier terme
u
0
=
∣
−
4
∣
=
4
u_{0} =\left|-4\right|=4
u
0
=
∣
−
4
∣
=
4
.
Question 2
Pour tout entier naturel
n
n
n
, exprimer
u
n
u_{n}
u
n
en fonction de
n
n
n
.
Correction
D'après la question précédente, on a vu que
(
u
n
)
\left(u_{n}\right)
(
u
n
)
est une suite géométrique de raison
5
\sqrt{5}
5
et de premier terme
u
0
=
4
u_{0} =4
u
0
=
4
.
L'expression de
u
n
u_{n}
u
n
en fonction de
n
n
n
est donnée par la formule
u
n
=
u
0
×
q
n
u_{n} =u_{0} \times q^{n}
u
n
=
u
0
×
q
n
Ainsi :
u
n
=
4
×
(
5
)
n
u_{n} =4\times \left(\sqrt{5} \right)^{n}
u
n
=
4
×
(
5
)
n
Question 3
Déterminer la limite de la suite
(
u
n
)
\left(u_{n}\right)
(
u
n
)
.
Correction
Si
−
1
<
q
<
1
-1<q<1
−
1
<
q
<
1
alors
lim
n
→
+
∞
q
n
=
0
\lim\limits_{n\to +\infty } q^{n} =0
n
→
+
∞
lim
q
n
=
0
.
Si
q
>
1
q >1
q
>
1
alors
lim
n
→
+
∞
q
n
=
+
∞
\lim\limits_{n\to +\infty } q^{n} =+\infty
n
→
+
∞
lim
q
n
=
+
∞
.
Comme
5
>
1
\sqrt{5} >1
5
>
1
alors :
lim
n
→
+
∞
(
5
)
n
=
+
∞
\lim\limits_{n\to +\infty } \left(\sqrt{5}\right)^{n} =+\infty
n
→
+
∞
lim
(
5
)
n
=
+
∞
lim
n
→
+
∞
4
×
(
5
)
n
=
+
∞
\lim\limits_{n\to +\infty } 4\times\left(\sqrt{5}\right)^{n} =+\infty
n
→
+
∞
lim
4
×
(
5
)
n
=
+
∞
Ainsi :
lim
n
→
+
∞
u
n
=
+
∞
\lim\limits_{n\to +\infty } u_{n} =+\infty
n
→
+
∞
lim
u
n
=
+
∞