Exercice 2 - Exercice 1

La bonne réponse est b.
$$f'\left(x\right)=2\times 3\cos \left(3x-\pi \right)$$.
Or : $$\cos \left(x-\pi \right)=-\cos \left(x\right)$$
Ainsi : $$f'\left(x\right)=-6\cos \left(3x\right)$$

La bonne réponse est d.
$$\cos \left(3x\right)=0$$ équivaut à
$$\cos \left(3x\right)=\cos \left(\frac{\pi }{2} \right)$$
$$\cos \left(3x\right)=\cos \left(\frac{\pi }{2} \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ccc} {3x} & {=} & {\frac{\pi }{2} +2k\pi } \\ {} & {{\text{ou}}} & {} \\ {3x} & {=} & {-\frac{\pi }{2} +2k\pi } \end{array}\right.$$ avec $$k\in \mathbb{R}$$.
$$\cos \left(3x\right)=\cos \left(\frac{\pi }{2} \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {\frac{\pi }{6} +\frac{2k\pi }{3} } \\ {} & {{\text{ou}}} & {} \\ {x} & {=} & {-\frac{\pi }{6} +\frac{2k\pi }{3} } \end{array}\right.$$ avec $$k\in \mathbb{R}$$.
Ainsi : avec $$k\in \mathbb{R}$$.
Il s'agit ici de tous les solutions sur $$\mathbb{R}$$.
On souhaite déterminer les solutions dans l'intervalle$$\left[-\frac{\pi }{2} ;\frac{\pi }{2} \right]$$.
1^er cas
Cherchons les solutions du type $$\frac{\pi }{6} +\frac{2k\pi }{3}$$ appartenant à $$\left[-\frac{\pi }{2} ;\frac{\pi }{2} \right]$$

• Lorsque $$k=0$$, on a $$\frac{\pi }{6} +\frac{2\times 0\pi }{3} =\frac{\pi }{6}$$ et$$\frac{\pi }{6} \in \left[-\frac{\pi }{2} ;\frac{\pi }{2} \right]$$
• Lorsque $$k=1$$, on a $$\frac{\pi }{6} +\frac{2\times 1\pi }{3} =\frac{5\pi }{6}$$ et$$\frac{5\pi }{6} \notin \left[-\frac{\pi }{2} ;\frac{\pi }{2} \right]$$
• Lorsque $$k=-1$$, on a $$\frac{\pi }{6} +\frac{2\times \left(-1\right)\pi }{3} =-\frac{\pi }{2}$$ et$$-\frac{\pi }{2} \in \left[-\frac{\pi }{2} ;\frac{\pi }{2} \right]$$

2^ème cas
Cherchons les solutions du type $$-\frac{\pi }{6} +\frac{2k\pi }{3}$$ appartenant à $$\left[-\frac{\pi }{2} ;\frac{\pi }{2} \right]$$

• Lorsque $$k=0$$, on a $$-\frac{\pi }{6} +\frac{2\times 0\pi }{3} =-\frac{\pi }{6}$$ et$$-\frac{\pi }{6} \in \left[-\frac{\pi }{2} ;\frac{\pi }{2} \right]$$
• Lorsque $$k=1$$, on a $$-\frac{\pi }{6} +\frac{2\times 1\pi }{3} =\frac{\pi }{2}$$ et$$\frac{\pi }{2} \in \left[-\frac{\pi }{2} ;\frac{\pi }{2} \right]$$
• Lorsque $$k=-1$$, on a $$-\frac{\pi }{6} +\frac{2\times \left(-1\right)\pi }{3} =-\frac{5\pi }{6}$$ et$$-\frac{5\pi }{6} \notin \left[-\frac{\pi }{2} ;\frac{\pi }{2} \right]$$

Il en résulte que les solutions de l'équation $$\cos \left(3x\right)=0$$ sur $$\left[-\frac{\pi }{2} ;\frac{\pi }{2} \right]$$ sont : $$S=\left\{-\frac{\pi }{6} ;\frac{\pi }{2} ;-\frac{\pi }{2} ;\frac{\pi }{6} \right\}$$

La bonne réponse est a.
$$F\left(0\right)=\int _{0}^{0}e^{\sin \left(t\right)} dt$$.
Ici, il ne faut surtout pas chercher à calculer cette intégrale.
Ce n'est pas au programme de terminale S.
Cependant notons $$G\left(t\right)$$ une primitive de $$f:t\mapsto e^{\sin t}$$.
Ainsi,
$$F\left(0\right)=\left[G\left(t\right)\right]_{0}^{0}$$
$$F\left(0\right)=\left[G\left(0\right)-G\left(0\right)\right]$$
$$F\left(0\right)=0$$

La bonne réponse est a.
Notons $$f\left(x\right)=\frac{\cos \left(x\right)-\sin \left(x\right)}{\cos \left(x\right)+\sin \left(x\right)}$$.
On rappelle qu'une primitive de la forme $$\frac{u'\left(x\right)}{u\left(x\right)}$$ est de la forme $$\ln \left(u\left(x\right)\right)$$.
Ici $$u\left(x\right)=\cos \left(x\right)+\sin \left(x\right)$$ donc $$u'\left(x\right)=\cos \left(x\right)-\sin \left(x\right)$$.
Ainsi $$f\left(x\right)=\frac{u'\left(x\right)}{u\left(x\right)}$$ d'où une primitive est $$F\left(x\right)=\ln \left(\cos \left(x\right)+\sin \left(x\right)\right)$$
Il vient alors que :
$$\int _{0}^{\frac{\pi }{2} }\frac{\cos \left(x\right)-\sin \left(x\right)}{\cos \left(x\right)+\sin \left(x\right)} =\left[\ln \left(\cos \left(x\right)+\sin \left(x\right)\right)\right]_{0}^{\frac{\pi }{2} }$$
$$\int _{0}^{\frac{\pi }{2} }\frac{\cos \left(x\right)-\sin \left(x\right)}{\cos \left(x\right)+\sin \left(x\right)} =\left[\ln \left(\cos \left(\frac{\pi }{2} \right)+\sin \left(\frac{\pi }{2} \right)\right)\right]-\left[\ln \left(\cos \left(0\right)+\sin \left(0\right)\right)\right]$$
$$\int _{0}^{\frac{\pi }{2} }\frac{\cos \left(x\right)-\sin \left(x\right)}{\cos \left(x\right)+\sin \left(x\right)} =0$$

La bonne réponse est d.
$$f\left(x\right)=2\cos \left(4x\right)-\sin \left(4x\right)$$
Alors,
$$f'\left(x\right)=-8\sin \left(4x\right)-4\cos \left(4x\right)$$
Puis,
$$f''\left(x\right)=-32\cos \left(4x\right)+16\sin \left(4x\right)$$
D'où :
$$f''\left(x\right)+f\left(x\right)=-32\cos \left(4x\right)+16\sin \left(4x\right)+16\left(2\cos \left(4x\right)-\sin \left(4x\right)\right)$$
$$f''\left(x\right)+f\left(x\right)=0$$

La bonne réponse est c.

$$\lim\limits_{x\to 0} \frac{\sin \left(5x\right)}{x} =\lim\limits_{x\to 0} \frac{1}{5} \times \frac{\sin \left(5x\right)}{5x} .$$
On va s'intéresser à $$\lim\limits_{x\to 0} \frac{\sin \left(5x\right)}{5x}$$.
On pose $$X=5x$$ d'où :
$$\lim\limits_{x\to 0} \frac{\sin \left(5x\right)}{5x} =\lim\limits_{X\to 0} \frac{\sin \left(X\right)}{X} =1$$
Finalement $$\lim\limits_{x\to 0} \frac{\sin \left(5x\right)}{x} =\lim\limits_{x\to 0} \frac{1}{5} \times \frac{\sin \left(5x\right)}{5x} =\frac{1}{5} \times 1=\frac{1}{5}$$

La bonne réponse est a.
On reconnait la forme $$\left(uv\right)'=u'v+uv'$$ avec $$u\left(x\right)=e^{x}$$ et $$v\left(x\right)=\sin \left(x\right)$$.
Ainsi $$u'\left(x\right)=e^{x}$$ et $$v'\left(x\right)=\cos \left(x\right)$$.
Pour tout réel $$x\in \left[0,\frac{\pi }{4} \right]$$, on a :
$$f'\left(x\right)=e^{x} \sin \left(x\right)+e^{x} \cos \left(x\right)$$
$$f'\left(x\right)=e^{x} \left(\sin \left(x\right)+\cos \left(x\right)\right)$$
Comme pour tout réel $$x\in \left[0,\frac{\pi }{4} \right]$$la fonction $$e^{x}$$est strictement positive.
Le signe de $$f'$$dépend de $$\cos \left(x\right)+\sin \left(x\right)$$.
Or, on vérifie facilement sur le cercle trigonométrique que pour tout $$x\in \left[0,\frac{\pi }{4} \right]$$, on a $$\cos \left(x\right)\ge 0$$ et $$\sin \left(x\right)\ge 0$$.
Il en résulte que $$\cos \left(x\right)+\sin \left(x\right)\ge 0$$ et donc que $$f'\left(x\right)\ge 0$$.
La fonction $$f$$ est croissante sur $$\left[0,\frac{\pi }{4} \right]$$

La bonne réponse est b.
$$cotan\left(\frac{\pi }{4} \right)=\frac{\cos \left(\frac{\pi }{4} \right)}{\sin \left(\frac{\pi }{4} \right)} =1$$
$$cotan\left(\frac{\pi }{4} \right)=1$$

La bonne réponse est d.
On sait que $$cotan\left(x\right)=\frac{\cos \left(x\right)}{\sin \left(x\right)}$$ est définie si et seulement si $$\sin \left(x\right)\ne 0$$.
Cherchons donc les solutions de l'équation $$\sin \left(x\right)=0$$
$$\sin \left(x\right)=0$$ équivaut successivement à
$$\sin \left(x\right)=\sin \left(0\right)$$
$$\sin \left(x\right)=\sin \left(0\right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {0+2k\pi } \\ {} & {{\text{ou}}} & {} \\ {x} & {=} & {\left(\pi -0\right)+2k\pi } \end{array}\right.$$ avec $$k\in Z$$
$$\sin \left(x\right)=\sin \left(0\right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {2k\pi } \\ {} & {{\text{ou}}} & {} \\ {x} & {=} & {\pi +2k\pi } \end{array}\right.$$ avec $$k\in Z$$
Autrement dit $$\sin \left(x\right)=0$$ si et seulement si $$x=k\pi$$ où $$k$$ est un nombre entier relatif

La bonne réponse est c.
Soit :
$$f\left(x\right)=cotan\left(x\right)$$
$$f\left(x\right)=\frac{\cos \left(x\right)}{\sin \left(x\right)} .$$
On reconnait la forme $$\left(\frac{u}{v} \right)^{'} =\frac{u'v-uv'}{\left(v\left(x\right)\right)^{2} }$$ avec $$u\left(x\right)=\cos \left(x\right)$$ et $$v\left(x\right)=\sin \left(x\right)$$.
Ainsi $$u'\left(x\right)=-\sin \left(x\right)$$ et $$v'\left(x\right)=\cos \left(x\right)$$
Il vient alors que :
$$f'\left(x\right)=\frac{-\sin \left(x\right)\sin \left(x\right)-\cos \left(x\right)\cos \left(x\right)}{\left(\sin \left(x\right)\right)^{2} }$$
$$f'\left(x\right)=\frac{-\left(\sin \left(x\right)\right)^{2} -\left(\cos \left(x\right)\right)^{2} }{\left(\sin \left(x\right)\right)^{2} }$$
$$f'\left(x\right)=-\frac{\left(\sin \left(x\right)\right)^{2} }{\left(\sin \left(x\right)\right)^{2} } -\frac{\left(\cos \left(x\right)\right)^{2} }{\left(\sin \left(x\right)\right)^{2} }$$
Finalement : $$f'\left(x\right)=-1-\left(cotan\left(x\right)\right)^{2}$$