La géométrie dans l'espace et produit scalaire

Repères et coordonnées - Exercice 1

15 min
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Soit ABCDABCD un tétraèdre. On considère les points II et JJ milieux respectifs de [AC]\left[AC\right] et [BD]\left[BD\right].
Les points P,Q,RP,Q,R et SS sont définis par
AP→=25AB→\overrightarrow{AP} =\frac{2}{5} \overrightarrow{AB} , AQ→=23AD→\overrightarrow{AQ} =\frac{2}{3} \overrightarrow{AD} , CR→=13CB→\overrightarrow{CR} =\frac{1}{3} \overrightarrow{CB} et CS→=25CD→\overrightarrow{CS} =\frac{2}{5} \overrightarrow{CD}
On considère le repère (A;AB→;AC→;AD→)\left(A;\overrightarrow{AB} ;\overrightarrow{AC} ;\overrightarrow{AD} \right)
Question 1

Déterminer les coordonnées des points I,J,P,Q,RI,J,P,Q,R et SS.

Correction
On considère le repère (A;AB→;AC→;AD→)\left(A;\overrightarrow{AB} ;\overrightarrow{AC} ;\overrightarrow{AD} \right). Si l'on veut déterminer les coordonnées par exemple d'un point MM il faut l'exprimer le point MM avec l'origine du repère en fonction des vecteurs du repère donné. Dans notre exemple, si AM→=xAB→+yAC→+zAD→\overrightarrow{AM} =x\overrightarrow{AB} +y\overrightarrow{AC} +z\overrightarrow{AD} alors les coordonnées de MM sont (x;y;z)\left(x;y;z\right)
AA est l'origine du repère ainsi A(0;0;0)A\left(0;0;0\right)
  • AB→=1AB→+0AC→+0AD→\overrightarrow{AB} =1\overrightarrow{AB} +0\overrightarrow{AC} +0\overrightarrow{AD} donc les coordonnées de BB sont (1;0;0)\left(1;0;0\right)
  • AC→=0AB→+1AB→+0AD→\overrightarrow{AC} =0\overrightarrow{AB} +1\overrightarrow{AB} +0\overrightarrow{AD} donc les coordonnées de CC sont (0;1;0)\left(0;1;0\right)
  • AD→=0AB→+0AB→+1AD→\overrightarrow{AD} =0\overrightarrow{AB} +0\overrightarrow{AB} +1\overrightarrow{AD} donc les coordonnées de DD sont (0;0;1)\left(0;0;1\right)
  • AP→=25AB→+0AC→+0AD→\overrightarrow{AP} =\frac{2}{5} \overrightarrow{AB} +0\overrightarrow{AC} +0\overrightarrow{AD} donc les coordonnées de PP sont (25;0;0)\left(\frac{2}{5} ;0;0\right)
  • AQ→=0AB→+0AB→+23AD→\overrightarrow{AQ} =0\overrightarrow{AB} +0\overrightarrow{AB} +\frac{2}{3} \overrightarrow{AD} donc les coordonnées de QQ sont (0;0;23)\left(0;0;\frac{2}{3} \right)
  • CR→=13CB→\overrightarrow{CR} =\frac{1}{3} \overrightarrow{CB} avec la relation de Chasles on a CR→=13(CA→+AB→)=13CA→+13AB→\overrightarrow{CR} =\frac{1}{3} \left(\overrightarrow{CA} +\overrightarrow{AB} \right)=\frac{1}{3} \overrightarrow{CA} +\frac{1}{3} \overrightarrow{AB}
    Ainsi CR→=13AB→−13AC→+0AD→\overrightarrow{CR} =\frac{1}{3} \overrightarrow{AB} -\frac{1}{3} \overrightarrow{AC} +0\overrightarrow{AD} .
    Ensuite ne pas oublier d'exprimer avec l'origine du repère, ce qui donne CA→+AR→=13AB→−13AC→+0AD→\overrightarrow{CA} +\overrightarrow{AR} =\frac{1}{3} \overrightarrow{AB} -\frac{1}{3} \overrightarrow{AC} +0\overrightarrow{AD} .
    On a alors AR→=13AB→−13AC→−CA→+0AD⃗\overrightarrow{AR} =\frac{1}{3} \overrightarrow{AB} -\frac{1}{3} \overrightarrow{AC} -\overrightarrow{CA} +0\vec{AD}
    Enfin AR→=13AB→+23AC→+0AD→\overrightarrow{AR} =\frac{1}{3} \overrightarrow{AB} +\frac{2}{3} \overrightarrow{AC} +0\overrightarrow{AD} donc les coordonnées de RR sont (13;23;0)\left(\frac{1}{3} ;\frac{2}{3} ;0\right)
  • On sait que CS→=25CD→\overrightarrow{CS} =\frac{2}{5} \overrightarrow{CD} , donc d'après la relation de Chasles :
    CA→+AS→=25CD→\overrightarrow{CA} +\overrightarrow{AS} =\frac{2}{5} \overrightarrow{CD} . Soit AS→=25CD→−CA→\overrightarrow{AS} =\frac{2}{5} \overrightarrow{CD} -\overrightarrow{CA} .
    On effectue une relation de Chasles avec le vecteur CD→\overrightarrow{CD} , il en résulte que
    AS→=25(CA→+AD→)−CA→⇔AS→=25CA→+25AD→−CA→⇔AS→=0AB→+35AC→+25AD→\overrightarrow{AS} =\frac{2}{5} \left(\overrightarrow{CA} +\overrightarrow{AD} \right)-\overrightarrow{CA} \Leftrightarrow \overrightarrow{AS} =\frac{2}{5} \overrightarrow{CA} +\frac{2}{5} \overrightarrow{AD} -\overrightarrow{CA} \Leftrightarrow \overrightarrow{AS} =0\overrightarrow{AB} +\frac{3}{5} \overrightarrow{AC} +\frac{2}{5} \overrightarrow{AD}
    Donc les coordonnées de SS sont (0;35;25)\left(0;\frac{3}{5} ;\frac{2}{5} \right)
  • Calculons les coordonnées de II et JJ.
    D'une part, les coordonnées de II sont données par
    xI=xA+xC2⇔xI=0+02⇔xI=0x_{I} =\frac{x_{A} +x_{C} }{2} \Leftrightarrow x_{I} =\frac{0+0}{2} \Leftrightarrow x_{I} =0
    yI=yA+yC2⇔yI=0+12⇔yI=12y_{I} =\frac{y_{A} +y_{C} }{2} \Leftrightarrow y_{I} =\frac{0+1}{2} \Leftrightarrow y_{I} =\frac{1}{2}
    zI=zA+zC2⇔zI=0+02⇔zI=0z_{I} =\frac{z_{A} +z_{C} }{2} \Leftrightarrow z_{I} =\frac{0+0}{2} \Leftrightarrow z_{I} =0
    Les coordonnées de II sont alors (0;12;0)\left(0;\frac{1}{2} ;0\right)
    • D'autre part, les coordonnées de JJ sont données par
    xJ=xB+xD2⇔xJ=1+02⇔xJ=12x_{J} =\frac{x_{B} +x_{D} }{2} \Leftrightarrow x_{J} =\frac{1+0}{2} \Leftrightarrow x_{J} =\frac{1}{2}
    yJ=yB+yD2⇔yJ=0+02⇔yJ=0y_{J} =\frac{y_{B} +y_{D} }{2} \Leftrightarrow y_{J} =\frac{0+0}{2} \Leftrightarrow y_{J} =0
    zJ=zB+zD2⇔zI=0+12⇔zI=12z_{J} =\frac{z_{B} +z_{D} }{2} \Leftrightarrow z_{I} =\frac{0+1}{2} \Leftrightarrow z_{I} =\frac{1}{2}
    Les coordonnées de JJ sont alors (12;0;12)\left(\frac{1}{2} ;0;\frac{1}{2} \right)