Exercices types : $$1$$^ère partie - Exercice 1

$$\red{\text{ La proposition est fausse.}}$$
En effet, on a :
$$\overrightarrow{AB} =\left(\begin{array}{c} {-2} \\ {4} \\ {-1} \end{array}\right)$$ et $$\overrightarrow{AC} =\left(\begin{array}{c} {6} \\ {-12} \\ {3} \end{array}\right)$$. On remarque que : $$\overrightarrow{AC}=-3\overrightarrow{AB}$$. Les vecteurs $$\overrightarrow{AC}$$ et $$\overrightarrow{AB}$$ sont colinéaires. Donc les trois points $$A$$ , $$B$$ et $$C$$ sont alignés et ne définissent pas un plan.

$$\red{\text{ La proposition est vraie.}}$$
On vérifie facilement que les coordonnées de chacun des points $$A$$ , $$B$$ et $$D$$ vérifient l’équation $$x-2z+9=0$$.
En effet :

$$x_{A}-2z_{A}+9=1-2\times 5+9=0$$ donc le point $$A$$ vérifie l'équation $$x-2z+9=0$$.

$$x_{B}-2z_{B}+9=-1-2\times 4+9=0$$ donc le point $$B$$ vérifie l'équation $$x-2z+9=0$$.

$$x_{D}-2z_{D}+9=7-2\times 8+9=0$$ donc le point $$D$$ vérifie l'équation $$x-2z+9=0$$.

Une équation cartésienne du plan $$\left(ABD \right)$$ est bien : $$x-2z+9=0$$

$$\red{\text{ La proposition est fausse.}}$$
Si la représentation paramétrique donnée représente celle de la droite $$\left(AC \right)$$ alors les points $$A\left(1;2;5\right)$$ et $$C\left(7;-10;8\right)$$ devraient appartenir à cette droite.
On remplace les coordonnées de $$A$$ dans l'équation paramétrique proposée :
Donc $$\left\{\begin{array}{ccc} {x_{A} } & {=} & {\frac{3}{2}t-5} \\ {y_{A} } & {=} & {-3t+14} \\ {z_{A} } & {=} & {-\frac{3}{2}t+2} \end{array}\right.$$ ce qui donne $$\left\{\begin{array}{ccc} {1 } & {=} & {\frac{3}{2}t-5} \\ {2 } & {=} & {-3t+14} \\ {5} & {=} & {-\frac{3}{2}t+2} \end{array}\right.$$
Puis on résout les équations et on doit pour chaque ligne trouver la même valeur de $$t$$ pour que le point $$A$$ appartienne à la représentation paramétrique.
Ainsi $$\left\{\begin{array}{ccc} {t} & {=} & {4} \\ {t} & {=} & {4} \\ {t} & {=} & {-2} \end{array}\right.$$.
Donc le point $$A\left(-1;1;2\right)$$ n'appartient à la représentation paramétrique donnée.
Donc $$\left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {\frac{3}{2}t-5} \\ {y} & {=} & {-3t+14} \\ {z} & {=} & {-\frac{3}{2}t+2} \end{array}\right.$$ où $$t\in$$$$\mathbb{R}$$ ne correspond pas à la représentation paramétrique de la droite $$\left(AC \right)$$.

$$\red{\text{ La proposition est fausse.}}$$
Soient $$\overrightarrow{n} \left(\begin{array}{c} {2} \\ {-1} \\ {5} \end{array}\right)$$ et $$\overrightarrow{n_{1} } \left(\begin{array}{c} {-3} \\ {-1} \\ {1} \end{array}\right)$$ des vecteurs normaux respectifs des plans $$\left(P\right)$$ et $$\left(P_{1} \right)$$.
On vérifie facilement que les deux vecteurs normaux ne sont pas colinéaires (non proportionnels), alors les plans $$\left(P\right)$$ et $$\left(P_{1} \right)$$ ne sont pas parallèles.

$$\red{\text{ La proposition est fausse.}}$$
$$\red{\text{ Etape 1 : }}$$
Soient : $$\overrightarrow{n_{1} } \left(\begin{array}{c} {1} \\ {1} \\ {1} \end{array}\right)$$ un vecteur normal du plan $$\left(P \right)$$ et $$\overrightarrow{u_{1} } \left(\begin{array}{c} {1} \\ {-3} \\ {2} \end{array}\right)$$ un vecteur directeur de $$\left(D \right)$$
$$\overrightarrow{n_{1} } .\overrightarrow{u_{1} } =1\times 1+1\times\left(-3\right)+1\times 2=0$$
Donc $$\left(P \right)$$ et $$\left(D \right)$$ sont parallèles.
$$\red{\text{ Etape 2 : }}$$
Maintenant est-ce que la droite et le plan sont confondus ?
Pour cela on résout le système :
$$\left(P\cap D\right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{c} {x+y+z-3=0} \\ {x=2+t} \\ {y=1-3t} \\ {z=2t} \end{array}\right.$$ où $$t\in \mathbb{R}$$
On remplace la valeur de $$x,y$$ et $$z$$ dans le plan $$\left(P\right)$$
$$\left(P\cap D\right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{c} {2+t+1-3t+2t-3=0} \\ {x=2+t} \\ {y=1-3t} \\ {z=2t} \end{array}\right.$$
Ainsi : $$\left(P\cap D\right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{c} {0=0} \\ {x=2+t} \\ {y=1-3t} \\ {z=2t} \end{array}\right.$$
$$0=0$$ est une équation toujours vraie.
Cela signifie que le plan et la droite sont confondus.
La droite $$\left(D\right)$$ est incluse dans le plan $$\left(P\right)$$ .