La fonction logarithme

Variations

Exercice 1

Etudier les variations des fonctions suivantes
1

f(x)=3ln(x)+2x1f\left(x\right)=3\ln \left(x\right)+2x-1 sur I=]0;+[I=\left]0;+\infty \right[

Correction
2

f(x)=ln(x)+x+6f\left(x\right)=-\ln \left(x\right)+x+6 sur I=]0;+[I=\left]0;+\infty \right[

Correction
3

f(x)=4ln(x)2x2+1f\left(x\right)=4\ln \left(x\right)-2x^{2} +1 sur I=]0;+[I=\left]0;+\infty \right[

Correction
4

f(x)=xln(x)f\left(x\right)=x\ln \left(x\right) sur I=]0;+[I=\left]0;+\infty \right[

Correction
5

f(x)=ln(x)2xf\left(x\right)=\frac{\ln \left(x\right)}{2x} sur I=]0;+[I=\left]0;+\infty \right[

Correction
6

f(x)=3(ln(x))26ln(x)+3f\left(x\right)=3\left(\ln \left(x\right)\right)^{2} -6\ln \left(x\right)+3 sur I=]0;+[I=\left]0;+\infty \right[

Correction
7

f(x)=3xln(x)7xf\left(x\right)=3x\ln \left(x\right)-7x sur I=]0;+[I=\left]0;+\infty \right[

Correction
8

f(x)=(ln(x)+4)2f\left(x\right)=\left(\ln \left(x\right)+4\right)^{2} sur I=]0;+[I=\left]0;+\infty \right[

Correction

Exercice 2

Soit ff la fonction définie sur ]1;+[\left]1;+\infty \right[ par : f(x)=2x(x1)ln(x1)f\left(x\right)=2x-\left(x-1\right)\ln \left(x-1\right)
1

Déterminer la dérivée de ff sur ]1;+[\left]1;+\infty \right[.

Correction
2

Dresser le tableau de variation de ff sur ]1;+[\left]1;+\infty \right[.

Correction

Exercice 3

On considère la fonction ff définie sur l'intervalle ]0;15]\left]0;15 \right] par f(x)=x54ln(x)f\left(x\right)=x-5-4\ln \left(x\right) .
On note CfC_{f} sa courbe représentative dans un repère du plan.
1

Déterminer la limite de la fonction ff en 00. Que peut-on en déduire graphiquement?

Correction
2

Calculer la dérivée ff' de la fonction ff.

Correction
3

Dresser le tableau de variation de ff sur ]0;15]\left]0;15 \right].

Correction
4

Déterminer une équation de la tangente (T)\left(T\right) à la courbe CfC_{f} au point d'abscisse ee.

Correction

Exercice 4

Soit ff la fonction définie sur [1;20]\left[1 ;20\right] par f(x)=(2ln(x))(3+4ln(x))f\left(x\right)=\left(2-\ln \left(x\right)\right)\left(3+4\ln \left(x\right)\right) .
La courbe C\mathscr{C} est la représentation graphique de la fonction ff sur l’intervalle [1;20]\left[1 ;20\right].
1

Montrer que f(x)=58ln(x)xf'\left(x\right)=\frac{5-8\ln \left(x\right)}{x} .

Correction
2

Dresser le tableau de variation de ff sur [1;20]\left[1 ;20\right]. On ne vous demande pas de compléter les valeurs dans le tableau.

Correction
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