La fonction logarithme

Exercices types : 33ème partie

Exercice 1

Le plan est rapporté à un repère orthonormal (O;i;j)\left(O;\vec{i} ;\vec{j} \right). On considère la fonction ff, définie sur l’intervalle ]0;+[\left]0;+\infty \right[ par : f(x)=3ln(x)+2(ln(x))2f\left(x\right)=3-\ln \left(x\right)+2\left(\ln \left(x\right)\right)^{2} . On note C\mathscr{C} sa courbe représentative.
1

Résoudre dans ]0;+[\left]0;+\infty \right[ l’équation f(x)=0f\left(x\right)=0.

Correction
2

Déterminer la limite de ff en 00.

Correction
3

Déterminer la limite en ++\infty.

Correction
4

Calculer f(x)f'\left(x\right)

Correction
5

Étudier le sens de variation de ff et dresser son tableau de variation.

Correction
6

Déterminer une équation de la tangente (D) \left(\mathscr{D}\right) à la courbe C\mathscr{C} au point d’abscisse e54e^{\frac{5}{4} }.

Correction
On se propose d’étudier la position de la courbe C\mathscr{C} par rapport à la droite (D) \left(\mathscr{D}\right).
Pour cela, on considère la fonction φ\varphi, définie sur ]0;+[\left]0;+\infty \right[ par : φ(x)=f(x)(4e54x+78)\varphi \left(x\right)=f\left(x\right)-\left(4e^{-\frac{5}{4} } x+\frac{7}{8} \right)
7

Montrer que φ(x)=4ln(x)1x4e54\varphi '\left(x\right)=\frac{4\ln \left(x\right)-1}{x} -4e^{-\frac{5}{4} } .

Correction
8

Calculer φ(x)\varphi ''\left(x\right) .

Correction
9

Étudier le sens de variation de φ\varphi ' sur ]0;+[\left]0;+\infty \right[ .

Correction
10

En déduire le signe de φ\varphi ' sur ]0;+[\left]0;+\infty \right[ .

Correction
11

Calculer φ(e54)\varphi \left(e^{\frac{5}{4}}\right) et en déduire le signe de φ\varphi sur l'intervalle ]0;+[\left]0;+\infty \right[ .

Correction
12

En déduire la position de la courbe C\mathscr{C} par rapport à la droite (D) \left(\mathscr{D}\right).

Correction
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