La fonction logarithme

Equations et inéquations

Exercice 1

Pour chaque question, préciser l'ensemble de résolution de l'équation puis la résoudre.
1

lnx=6\ln x=6

Correction
2

2lnx+4=02\ln x+4=0

Correction
3

ln(4x2)=0\ln \left(4x-2\right)=0

Correction
4

ln(x+3)=1\ln \left(x+3\right)=1

Correction
5

2ln(x+7)=62\ln \left(-x+7\right)=-6

Correction
6

ln(x+3)=ln(2x+10)\ln \left(x+3\right)=\ln \left(2x+10\right)

Correction
7

ln(x+5)=ln(2x+10)\ln \left(-x+5\right)=\ln \left(2x+10\right)

Correction
8

ln(2x+2)=ln(x2+1)\ln \left(2x+2\right)=\ln \left(-x^{2} +1\right)

Correction
9

ln(2x+2)+ln(2x)=ln(5)+ln(x)\ln \left(2x+2\right)+\ln \left(2x\right)=\ln \left(5\right)+\ln \left(x\right)

Correction

Exercice 2

Pour chaque question, préciser l'ensemble de résolution de l'équation puis la résoudre.
1

(ln(x))2+2ln(x)3=0\left(\ln \left(x\right)\right)^{2} +2\ln \left(x\right)-3=0

Correction
2

2(ln(x))24ln(x)16=02\left(\ln \left(x\right)\right)^{2} -4\ln \left(x\right)-16=0

Correction
3

(ln(x))2+4ln(x)5=0\left(\ln \left(x\right)\right)^{2} +4\ln \left(x\right)-5=0

Correction
4

(ln(x))2+7ln(x)8=0\left(\ln \left(x\right)\right)^{2} +7\ln \left(x\right)-8=0

Correction
5

(ln(x))28ln(x)+15=0\left(\ln \left(x\right)\right)^{2} -8\ln \left(x\right)+15=0

Correction

Exercice 3

Pour chaque question, préciser l'ensemble de résolution de l'inéquation puis la résoudre.
  • ln(A)ln(B)AB\ln \left(A\right)\ge \ln \left(B\right)\Leftrightarrow A\ge B
  • ln(A)ln(B)AB\ln \left(A\right)\le \ln \left(B\right)\Leftrightarrow A\le B
1

ln(x)>1\ln \left(x\right)>1

Correction
2

ln(2x+2)0\ln \left(-2x+2\right)\ge 0

Correction
3

ln(2x+2)ln(x+4)\ln \left(-2x+2\right)\ge \ln \left(x+4\right)

Correction
4

ln(x2)<ln(4x3)\ln \left(x^{2} \right)<\ln \left(4x-3\right)

Correction
5

ln(2x+2)+ln(2x)ln(x)\ln \left(-2x+2\right)+\ln \left(2x\right)\le \ln \left(x\right)

Correction
6

ln(1+2x)<ln(x)\ln \left(1+\frac{2}{x} \right)<\ln \left(x\right)

Correction
7

2ln(x)+ln(3)ln(x2+3)2\ln \left(x\right)+\ln \left(3\right)\ge \ln \left(x^{2} +3\right)

Correction

Exercice 4

Soit nn un entier naturel, résoudre les inéquations suivantes.
1

2n20162^{n} \ge 2016

Correction
2

5n2195^{n} \ge 219

Correction
3

(0,4)n106\left(0,4\right)^{n} \le 10^{-6}

Correction
4

(ln3)ne5\left(\ln 3\right)^{n} \ge e^{5}

Correction

Exercice 5

Pour tout réel xx, on pose P(x)=2x36x212x+16P\left(x\right)=2x^{3} -6x^{2} -12x+16
1

Vérifier que P(2)=0P\left(-2\right)=0

Correction
2

Déterminer les réels a,ba,b et cc tels que P(x)=(x+2)(ax2+bx+c)P\left(x\right)=\left(x+2\right)\left(ax^{2} +bx+c\right)

Correction
3

Résoudre P(x)=0P\left(x\right)=0

Correction
4

Résoudre P(x)0P\left(x\right)\ge 0

Correction
5

En s'aidant des questions précédentes, résoudre l'inéquation : 2ln(x)+ln(2x6)ln(2)+ln(6x8)2\ln \left(x\right)+\ln \left(2x-6\right)\ge \ln \left(2\right)+\ln \left(6x-8\right)

Correction
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