La fonction exponentielle

QCM - Exercice 1

15 min
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Pour chaque question, il n'y a qu'une seule bonne réponse. Vous devrez justifier.
Question 1

Pour tout nombre réel xx, A(x)=1−e−x−1e−x+1A\left(x\right)=1-\frac{e^{-x} -1}{e^{-x} +1} s'écrit également :
  • 2e−x+1\frac{2}{e^{-x} +1}
  • 2e−xe−x+1\frac{2e^{-x} }{e^{-x} +1}
  • 22

Correction
La bonne réponse est a.
A(x)=1−e−x−1e−x+1A\left(x\right)=1-\frac{e^{-x} -1}{e^{-x} +1} équivaut successivement à :
A(x)=e−x+1e−x+1−e−x−1e−x+1A\left(x\right)=\frac{e^{-x} +1}{e^{-x} +1} -\frac{e^{-x} -1}{e^{-x} +1}
A(x)=e−x+1−(e−x−1)e−x+1A\left(x\right)=\frac{e^{-x} +1-\left(e^{-x} -1\right)}{e^{-x} +1}
A(x)=e−x+1−e−x+1e−x+1 A\left(x\right)=\frac{e^{-x} +1-e^{-x} +1}{e^{-x} +1}
A(x)=2e−x+1 A\left(x\right)=\frac{2}{e^{-x} +1}
Question 2

lim⁡x→+∞e−x+31+2e−x\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{e^{-x} +3}{1+2e^{-x} } est égale à :
  • 33
  • +∞+\infty
  • 32\frac{3}{2}

Correction
La bonne réponse est a.
lim⁡x→+∞e−x+31+2e−x=lim⁡x→+∞1ex+31+21ex\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{e^{-x} +3}{1+2e^{-x} } =\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{\frac{1}{e^{x} } +3}{1+2\frac{1}{e^{x} } } .

lim⁡x→+∞1ex+3=3lim⁡x→+∞1+21ex=1}par quotient :\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{1}{e^{x} } +3} & {=} & {3 } \\ {\lim\limits_{x\to +\infty }1+2\frac{1}{e^{x} }} & {=} & {1 } \end{array}\right\}{\text{par quotient :}}
lim⁡x→+∞e−x+31+2e−x=3\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{e^{-x} +3}{1+2e^{-x} }=3
Question 3

ff est la fonction définie et dérivable sur ]−1;+∞[\left]-1;+\infty \right[ par : f(x)=−2exx+1f\left(x\right)=\frac{-2e^{x} }{x+1} alors sa dérivée f′f' s'écrit :
  • f′(x)=−2ex(x+1)2f'\left(x\right)=\frac{-2e^{x} }{\left(x+1\right)^{2} }
  • f′(x)=−2xex(x+1)2f'\left(x\right)=\frac{-2xe^{x} }{\left(x+1\right)^{2} }
  • f′(x)=2ex(x+1)2f'\left(x\right)=\frac{2e^{x} }{\left(x+1\right)^{2} }

Correction
La bonne réponse est b.
Ici on reconnait la forme (uv)′=u′v−uv′v2\left(\frac{u}{v} \right)^{'} =\frac{u'v-uv'}{v^{2} } avec u(x)=−2exu\left(x\right)=-2e^{x} et v(x)=x+1v\left(x\right)=x+1.
Ainsi u′(x)=−2exu'\left(x\right)=-2e^{x} et v′(x)=1v'\left(x\right)=1.
Il vient alors que f′(x)=−2ex(x+1)−(−2ex)×1(x+1)2⇔f′(x)=−2xex−2ex+2ex(x+1)2f'\left(x\right)=\frac{-2e^{x} \left(x+1\right)-\left(-2e^{x} \right)\times 1}{\left(x+1\right)^{2} } \Leftrightarrow f'\left(x\right)=\frac{-2xe^{x} -2e^{x} +2e^{x} }{\left(x+1\right)^{2} }
Finalement :
f′(x)=−2xex(x+1)2f'\left(x\right)=\frac{-2xe^{x} }{\left(x+1\right)^{2} }
Question 4

Le nombre e3(e−2)5e^{3} \left(e^{-2} \right)^{5} est égale à :
  • e6e^{6}
  • e−30e^{-30}
  • e−7e^{-7}

Correction
La bonne réponse est c.
e3(e−2)5=e3e−2×5=e3e−10=e3+(−10)=e−7e^{3} \left(e^{-2} \right)^{5}=e^{3} e^{-2\times 5} =e^{3} e^{-10} =e^{3+\left(-10\right)} =e^{-7}
Question 5

Pour tout réel xx différent de −ln⁡(2)-\ln \left(2\right) , A=3−2e−x−1e−x−2A=3-\frac{2e^{-x} -1}{e^{-x} -2} est égale à :
  • 1−5ex1+2ex\frac{1-5e^{x} }{1+2e^{x} }
  • 1+5ex1−2ex\frac{1+5e^{x} }{1-2e^{x} }
  • 1−5ex1−2ex\frac{1-5e^{x} }{1-2e^{x} }
  • 1−5ex−1+2ex\frac{1-5e^{x} }{-1+2e^{x} }

Correction
La bonne réponse est c.
A=3−2e−x−1e−x−2A=3-\frac{2e^{-x} -1}{e^{-x} -2}
A=31−2e−x−1e−x−2A=\frac{3}{1} -\frac{2e^{-x} -1}{e^{-x} -2}
A=3(e−x−2)e−x−2−2e−x−1e−x−2A=\frac{3\left(e^{-x} -2\right)}{e^{-x} -2} -\frac{2e^{-x} -1}{e^{-x} -2}
A=3e−x−6e−x−2−2e−x−1e−x−2A=\frac{3e^{-x} -6}{e^{-x} -2} -\frac{2e^{-x} -1}{e^{-x} -2}
A=3e−x−6−(2e−x−1)e−x−2A=\frac{3e^{-x} -6-\left(2e^{-x} -1\right)}{e^{-x} -2}
A=3e−x−6−2e−x+1e−x−2A=\frac{3e^{-x} -6-2e^{-x} +1}{e^{-x} -2}
A=e−x−5e−x−2A=\frac{e^{-x} -5}{e^{-x} -2}
A=ex×(e−x−5)ex×(e−x−2)A=\frac{e^{x} \times \left(e^{-x} -5\right)}{e^{x} \times \left(e^{-x} -2\right)}
A=ex×e−x−5exex×e−x−2exA=\frac{e^{x} \times e^{-x} -5e^{x} }{e^{x} \times e^{-x} -2e^{x} }
A=ex−x−5exex−x−2exA=\frac{e^{x-x} -5e^{x} }{e^{x-x} -2e^{x} }
A=e0−5exe0−2exA=\frac{e^{0} -5e^{x} }{e^{0} -2e^{x} }
A=1−5ex1−2exA=\frac{1-5e^{x} }{1-2e^{x} }