Question 12
f(x)=ex−xx . On suppose ici que
f est dérivable sur un intervalle
I.
Correction
(ex)′=ex f est dérivable sur un intervalle
I.
Ici on reconnaît la forme
(vu)′=v2u′v−uv′ avec
u(x)=x et
v(x)=ex−x.
Ainsi
u′(x)=1 et
v′(x)=ex−1.
Il vient alors que :
f′(x)=(ex−x)21×(ex−x)−x×(ex−1) f′(x)=(ex−x)2ex−x−x×ex−x×(−1)f′(x)=(ex−x)2ex−x−xex+x f′(x)=(ex−x)2ex−xex f′(x)=(ex−x)2ex(1−x) Il faut penser à factoriser par les exponentielles afin de faciliter les études de signes que l'on verra par la suite.