La fonction exponentielle

A la mode au bac : des exponentielles et des sciences physiques

Exercice 1

Les parties AA et BB peuvent être traitées de façon indépendante.
Dans une usine, un four cuit des céramiques à la température de 10001000 °C. À la fin de la cuisson, il est éteint et il refroidit. On s’intéresse à la phase de refroidissement du four, qui débute dès l’instant où il est éteint. La température du four est exprimée en degré Celsius (°C). La porte du four peut être ouverte sans risque pour les céramiques dès que sa température est inférieure à 7070° C. Sinon les céramiques peuvent se fissurer, voire se casser.
Partie AA. Pour un nombre entier naturel nn, on note TnT_{n} la température en degré Celsius du four au bout de nn heures écoulées à partir de l’instant où il a été éteint. On a donc T0=1000T_{0} =1000. La température TnT_{n} est calculée par l’algorithme suivant :
T1000T\leftarrow 1000
Pour ii allant de 11 à nn
T0,82×T+3,6T\leftarrow 0,82\times T+3,6
Fin Pour

1

Déterminer la température du four, arrondie à l’unité, au bout de 44 heures de refroidissement.

Correction
2

Démontrer que, pour tout nombre entier naturel nn, on a : Tn=980×0,82n+20T_{n} =980\times 0,82^{n} +20

Correction
3

Au bout de combien d’heures le four peut-il être ouvert sans risque pour les céramiques?

Correction
Partie BB
Dans cette partie, on note tt le temps (en heure) écoulé depuis l’instant où le four a été éteint. La température du four (en degré Celsius) à l’instant tt est donnée par la fonction ff définie, pour tout nombre réel tt positif, par : f(t)=aet5+bf\left(t\right)=ae^{-\frac{t}{5} } +baa et bb sont deux nombres réels.
On admet que ff vérifie la relation suivante : f(t)+15f(t)=4f'\left(t\right)+\frac{1}{5} f\left(t\right)=4
4

Déterminer les valeurs de aa et bb sachant qu’initialement, la température du four est de 10001000°C, c’est-à-dire que f(0)=1000f\left(0\right)=1000.

Correction
Pour la suite, on admet que, pour tout nombre réel positif tt : f(t)=980et5+20f\left(t\right)=980e^{-\frac{t}{5} } +20.
5

Déterminer la limite de ff lorsque tt tend vers ++\infty.

Correction
6

Étudier les variations de ff sur [0;+[\left[0;+\infty\right[. En déduire son tableau de variations complet.

Correction
7

Avec ce modèle, après combien de minutes le four peut-il être ouvert sans risque pour les céramiques?

Correction
La température moyenne (en degré Celsius) du four entre deux instants t1t_{1} et t2t_{2} est donnée par : 1t2t1t1t2f(t)dt\frac{1}{t_{2} -t_{1} } \int _{t{}_{1} }^{t_{2} }f\left(t\right)dt
8

À l’aide de la représentation graphique de ff ci-dessous, donner une estimation de la température moyenne θ\theta du four sur les 1515 premières heures de refroidissement. Expliquer votre démarche.

Correction
9

Calculer la valeur exacte de cette température moyenne θ\theta et en donner la valeur arrondie au degré Celsius.

Correction
Dans cette question, on s’intéresse à l’abaissement de température (en degré Celsius) du four au cours d’une heure, soit entre deux instants tt et (t+1)\left(t +1\right). Cet abaissement est donné par la fonction dd définie, pour tout nombre réel tt positif, par : d(t)=f(t)f(t+1)d\left(t\right)=f\left(t\right)-f\left(t+1\right) .
10

Vérifier que, pour tout nombre réel tt positif , on a : d(t)=980(1e15)et5d\left(t\right)=980\left(1-e^{-\frac{1}{5} } \right)e^{-\frac{t}{5} }

Correction
11

Déterminer la limite de d(t)d\left(t\right) lorsque tt tend vers ++\infty. Quelle interprétation peut-on en donner ?

Correction

Exercice 2

La pharmacocinétique étudie l’évolution d’un médicament après son administration dans l’organisme, en mesurant sa concentration plasmatique, c’est-dire sa concentration dans le plasma. On étudie dans cet exercice l’évolution de la concentration plasmatique chez un patient d’une même dose de médicament, en envisageant différents modes d’administration.
On note f(t)f\left(t\right) la concentration plasmatique, exprimée en microgramme par litre (μg.L1)\left(\mu g.L^{-1} \right) , du médicament, au bout de tt heures après administration par voie intraveineuse.
Le modèle mathématique est f(t)=20e0,1tf\left(t\right)=20e^{-0,1t} avec t[0;+[t\in \left[0;+\infty\right[.
La concentration plasmatique initiale du médicament est donc f(0)=20f\left(0\right)=20 μg.L1\mu g.L^{-1}
1

La demi-vie du médicament est la durée (en heure) après laquelle la concentration plasmatique du médicament est égale à la moitié de la concentration initiale. Déterminer cette demi-vie, notée t0,5t_{0,5}.

Correction
2

On estime que le médicament est éliminé dès que la concentration plasmatique est inférieure à 0,20,2 μg.L1\mu g.L^{-1}. Déterminer le temps à partir duquel le médicament est éliminé. On donnera le résultat arrondi au dixième.

Correction
3

En pharmacocinétique, on appelle ASC (ou « aire sous la courbe » ), en μg.L1\mu g.L^{-1} , le nombre limx+0xf(t)dt\lim_{x\to +\infty }\int _{0}^{x}f\left(t\right)dt.
Vérifier que pour ce modèle, l’ASC est égal à 200200 μg.L1\mu g.L^{-1}.

Correction
Partie B: administration par voie orale
On note g(t)g\left(t\right) la concentration plasmatique du médicament, exprimée en microgramme par litre μg.L1\mu g.L^{-1}, au bout de tt heures après ingestion par voie orale. Le modèle mathématique est : g(t)=20(e0,1tet)g\left(t\right)=20\left(e^{-0,1t} -e^{-t} \right) avec t[0;+[t\in\left[0;+\infty\right[. Dans ce cas, l’effet du médicament est retardé, puisque la concentration plasmatique initiale est égale à g(0)=0g\left(0\right)=0 μg.L1\mu g.L^{-1}
4

Démontrer que, pour tout tt de l’intervalle [0;+[\left[0;+\infty\right[, on a : g(t)=20et(10,1e0,9t)g'\left(t\right)=20e^{-t} \left(1-0,1e^{0,9t} \right)

Correction
5

Étudier les variations de la fonction gg sur l’intervalle [0;+[\left[0;+\infty\right[. (On ne demande pas la limite en ++\infty). En déduire la durée après laquelle la concentration plasmatique du médicament est maximale. On donnera le résultat à la minute près.

Correction
Partie C : administration répétée par voie intraveineuse
On décide d’injecter à intervalles de temps réguliers la même dose de médicament par voie intraveineuse. L’intervalle de temps (en heure) entre deux injections est choisi égal à la demi-vie du médicament, c’est-à-dire au nombre t0,5t_{0,5} qui a été calculé à la question 11.
Chaque nouvelle injection entraîne une hausse de la concentration plasmatique de 2020 μg.L1\mu g.L^{-1}.
On note unu_{n} la concentration plasmatique du médicament immédiatement après la nn-ième injection.
Ainsi, u1=20u_{1}=20 et, pour tout entier nn supérieur ou égal à 11, on a : un+1=0,5un+20u_{n+1}=0,5u_{n}+20.
On remarque qu’avec ce modèle, la concentration initiale du médicament après la première injection, soit 2020 μg.L1\mu g.L^{-1}, est analogue à celle donnée par le modèle de la partie AA, soit f(0)=20f\left(0\right)=20.
6

Démontrer par récurrence que, pour tout entier n1n\ge1 : un=4040×0,5nu_{n}=40-40\times 0,5^{n}.

Correction
7

Déterminer la limite de la suite (un)\left(u_{n}\right) lorsque nn tend vers ++\infty.

Correction
8

On considère que l’équilibre est atteint dès que la concentration plasmatique dépasse 3838 μg.L1\mu g.L^{-1}. Déterminer le nombre minimal d’injections nécessaires pour atteindre cet équilibre.

Correction

Exercice 3

On s’intéresse à la chute d’une goutte d’eau qui se détache d’un nuage sans vitesse initiale. Un modèle très simplifié permet d’établir que la vitesse instantanée verticale, exprimée en m.s1m.s^{-1}, de chute de la goutte en fonction de la durée de chute tt est donnée par la fonction vv définie ainsi :
Pour tout réel positif ou nul tt, v(t)=9,81mk(1ekmt)v\left(t\right)=9,81\frac{m}{k} \left(1-e^{-\frac{k}{m} t} \right).
  • La constante mm est la masse de la goutte en milligramme et la constante kk est un coefficient strictement positif lié au frottement de l’air.
  • On rappelle que la vitesse instantanée est la dérivée de la position.
    Les parties AA et BB sont indépendantes.
    Partie A. Cas général
    1

    Déterminer les variations de la vitesse de la goutte d’eau.

    Correction
    2

    La goutte ralentit-elle au cours de sa chute?

    Correction
    3

    Montrer que limt+v(t)=9,81mk\lim_{t\to +\infty } v\left(t\right)=9,81\frac{m}{k}. Cette limite s’appelle vitesse limite de la goutte.

    Correction
    4

    Un scientifique affirme qu’au bout d’une durée de chute égale à 5mk\frac{5m}{k} , la vitesse de la goutte dépasse 99%99\% de sa vitesse limite. Cette affirmation est-elle correcte?

    Correction
    Partie B.
    Dans cette partie, on prend m=6m = 6 et k=3,9k = 3,9. À un instant donné, la vitesse instantanée de cette goutte est 1515 m.s1m.s^{-1} .
    5

    Depuis combien de temps la goutte s’est-elle détachée de son nuage? Arrondir la réponse au dixième de seconde.

    Correction
    6

    En déduire la vitesse moyenne de cette goutte entre le moment où elle s’est détachée du nuage et l’instant où on a mesuré sa vitesse. Arrondir la réponse au dixième de m.s1m.s^{-1} .

    Correction
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