Fonctions : continuité et dérivation

Le théorème des valeurs intermédiaires : niveau difficile

Exercice 1

La fonction ff est définie sur R\mathbb{R} par : f(x)=2x33x21f\left(x\right)=2x^{3} -3x^{2}-1
1

Déterminer les limites de ff aux bornes de son domaine de définition.

Correction
2

Calculer f(x)f'\left(x\right) pour tout réel xx, étudier son signe et en déduire le tableau de variation complet de ff.

Correction
3

Démontrer que l'équation f(x)=2f\left(x\right)=2 admet une unique solution sur R\mathbb{R}.
On notera α\alpha cette solution.

Correction
4

Déterminer un encadrement de α\alpha à 10210^{-2} près.

Correction

Exercice 2

Soit ff une fonction définie et continue sur [5;0]\left[-5;0\right] par f(x)=2x3+2x28x+10x24x+5f\left(x\right)=\frac{2x^{3} +2x^{2}-8x+10}{x^{2} -4x+5}
1

Montrer que pour tout réel xx appartenant à l'intervalle [5;0]\left[-5;0\right] , on a : f(x)=(2x2)(x28x+15)(x24x+5)2f'\left(x\right)=\frac{\left(2x^{2}\right)\left(x^{2} -8x+15\right)}{\left(x^{2} -4x+5\right)^{2} }

Correction
2

Etudier le signe de ff' et en déduire le tableau de variation de ff.

Correction
3

Démontrer que l'équation f(x)=0f\left(x\right)=0 admet une unique solution α\alpha . Donner un encadrement de α\alpha à 10210^{-2} près.

Correction
4

Déterminer le signe de la fonction ff sur [5;0]\left[-5;0\right].

Correction
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