Dérivation : rappels de première S - Exercice 1

$$f$$ est dérivable sur $$\mathbb{R}$$.
$$f'\left(x\right)=3\times 2x+12$$
$$f'\left(x\right)=6x+12$$
Ici la dérivée est une fonction du $$1$$^er degré.
Pour étudier son signe, nous allons résoudre l'inéquation $$f'\left(x\right)\ge 0$$.
En effet, en résolvant $$f'\left(x\right)\ge 0$$, on déterminera ainsi l'intervalle sur lequel la dérivée est positive ou nulle.
Il vient alors que :
$$f'\left(x\right)\ge 0$$ équivaut successivement à
$$6x+12\ge 0$$
$$6x\ge -12$$
$$x\ge \frac{-12}{6}$$
$$x\ge -2$$
Cela signifie que l'on va mettre le signe $$+$$ dans la ligne de $$6x+12$$ lorsque $$x$$ sera supérieur ou égale à $$-2$$.
On en déduit le tableau de variation suivant :

$$f$$ est dérivable sur $$\mathbb{R}$$.
$$f'\left(x\right)=-2x+6$$
Ici la dérivée est une fonction du $$1$$^er degré.
Pour étudier son signe, nous allons résoudre l'inéquation $$f'\left(x\right)\ge 0$$.
En effet, en résolvant $$f'\left(x\right)\ge 0$$, on déterminera ainsi l'intervalle sur lequel la dérivée est positive ou nulle.
Il vient alors que :
$$f'\left(x\right)\ge 0$$ équivaut successivement à
$$-2x+6\ge 0$$
$$-2x\ge -6$$
$$x\le \frac{-6}{-2}$$
$$x\le 3$$
Cela signifie que l'on va mettre le signe $$+$$ dans la ligne de $$-2x+6$$ lorsque $$x$$ sera inférieur ou égale à $$3$$.
On en déduit le tableau de variation suivant :

$$f$$ est dérivable sur $$\mathbb{R}$$.
$$f'\left(x\right)=3x^{2} -3$$
Ici la dérivée est une fonction du $$2$$^ème degré.
Pour l'étude du signe de $$3x^{2} -3$$, on va utiliser le discriminant.
Alors $$a=3$$; $$b=0$$ et $$c=-3$$.
Or $$\Delta =b^{2} -4ac$$ donc $$\Delta =36$$.
Il existe donc deux racines réelles distinctes.

• $$x_{1} =\frac{-b-\sqrt{\Delta } }{2a}$$ ce qui donne $$x_{1} =-1$$.
• $$x_{2} =\frac{-b+\sqrt{\Delta } }{2a}$$ ce qui donne $$x_{2} =1$$.

Comme $$a=3>0$$, la parabole est tournée vers le haut c'est-à-dire que $$f$$ est du signe de $$a$$ à l'extérieur des racines et du signe opposé à $$a$$ entre les racines.
On en déduit le tableau de variation suivant :

$$f$$ est dérivable sur $$\mathbb{R}$$.
On reconnait la forme $$\left(uv\right)'=u'v+uv'$$ avec $$u\left(x\right)=x+1$$ et $$v\left(x\right)=x-2$$
Ainsi : $$u'\left(x\right)=1$$ et $$v'\left(x\right)=1$$.
Il vient alors que :
$$f'\left(x\right)=1\times \left(x-2\right)+\left(x+1\right)\times 1$$
$$f'\left(x\right)=x-2+x+1$$
$$f'\left(x\right)=2x-1$$
Ici la dérivée est une fonction du $$1$$^er degré.
Pour étudier son signe, nous allons résoudre l'inéquation $$f'\left(x\right)\ge 0$$.
En effet, en résolvant $$f'\left(x\right)\ge 0$$, on déterminera ainsi l'intervalle sur lequel la dérivée est positive ou nulle.
Il vient alors que :
$$f'\left(x\right)\ge 0$$ équivaut successivement à
$$2x-1\ge 0$$
$$2x\ge 1$$
$$x\ge \frac{1}{2}$$
$$x\ge \frac{1}{2}$$
Cela signifie que l'on va mettre le signe $$+$$ dans la ligne de $$2x-1$$ lorsque $$x$$ sera supérieur ou égale à $$\frac{1}{2}$$.
On en déduit le tableau de variation suivant :

$$f$$ est dérivable sur $$\mathbb{R}-\left\{1\right\}$$ (on enlève la valeur interdite).
On reconnaît la forme $$\left(\frac{u}{v} \right)^{'} =\frac{u'v-uv'}{v^{2} }$$ avec $$u\left(x\right)=x+2$$ et $$v\left(x\right)=3x-3$$
Ainsi : $$u'\left(x\right)=1$$ et $$v'\left(x\right)=3$$.
Il vient alors que :
$$f'\left(x\right)=\frac{1\times \left(3x-3\right)-\left(x+2\right)\times \left(3\right)}{\left(3x-3\right)^{2} }$$
$$f'\left(x\right)=\frac{3x-3-\left(3x+6\right)}{\left(3x-3\right)^{2} }$$
$$f'\left(x\right)=\frac{3x-3-3x-6}{\left(3x-3\right)^{2} }$$
$$f'\left(x\right)=\frac{-9}{\left(3x-3\right)^{2} }$$
Pour tout réel $$x$$ différent de $$1$$, on sait que $$\left(3x-3\right)^{2}>0$$ et que $$-9<0$$. Nous traduisons cela dans un tableau de variation, ci-dessous :

$$f$$ est dérivable sur $$\mathbb{R}-\left\{4\right\}$$ (on enlève la valeur interdite).
On reconnaît la forme $$\left(\frac{u}{v} \right)^{'} =\frac{u'v-uv'}{v^{2} }$$ avec $$u\left(x\right)=-2x+1$$ et $$v\left(x\right)=x-4$$
Ainsi : $$u'\left(x\right)=-2$$ et $$v'\left(x\right)=1$$.
Il vient alors que :
$$f'\left(x\right)=\frac{\left(-2\right)\times \left(x-4\right)-\left(-2x+1\right)\times 1}{\left(x-4\right)^{2} }$$
$$f'\left(x\right)=\frac{-2x+8-\left(-2x+1\right)}{\left(x-4\right)^{2} }$$
$$f'\left(x\right)=\frac{-2x+8+2x-1}{\left(x-4\right)^{2} }$$
$$f'\left(x\right)=\frac{7}{\left(x-4\right)^{2} }$$
Pour tout réel $$x$$ différent de $$4$$, on sait que $$\left(x-4\right)^{2}>0$$ et que $$7>0$$. Nous traduisons cela dans un tableau de variation, ci-dessous :