Exercice 4 - Exercice 1

La bonne réponse est a.
On cherche $$P\left(230\le X\le 270\right)$$ sachant que la variable aléatoire $$X$$ suit la loi normale de paramètres $$\mu =250$$ et $$\sigma =10$$.
Or $$230=250-20=\mu -2\sigma$$ et $$270=250+20=\mu +2\sigma$$.
On sait que pour une loi normale de paramètres $$\mu$$ et $$\sigma$$, $$P\left(\mu -2\sigma \le X\le \mu +2\sigma \right)\approx 95\%$$
Vous auriez pu également faire le calcul de $$P\left(230\le X\le 270\right)$$ directement à la calculatrice.

La bonne réponse est b.
La probabilité qu'une cartouche ait une durée de vie inférieure à $$300$$ est $$P\left(X\le 300\right)$$.
D'après les propriétés de la loi normale, comme l'espérance est $$\mu =250$$, on sait que$$P\left(X\le 250\right)=0,5$$.
De plus, $$300 > 250$$ donc $$P\left(X\le 300\right)>P\left(X\le 250\right)$$ .
Il vient alors que $$P\left(X\le 300\right)>0,5$$.
On peut également répondre à cette question en faisant le calcul de $$P\left(X\le 300\right)$$ directement à la calculatrice. On obtient dans ce cas $$P\left(X\le 300\right)\approx 0,99$$

La bonne réponse est b.
L'échantillon est de taille $$n=1000$$ et $$p=0,8$$
$$n=1000\ge 30$$, $$np=800$$ et $$n(1-p)=200>5$$.
Les conditions d'approximation sont réalisées donc on peut prendre comme intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de $$95\%$$ :
$$I=\left[p-1,96\frac{\sqrt{p(1-p)} }{\sqrt{n} } ;p+1,96\frac{\sqrt{p(1-p)} }{\sqrt{n} } \right]$$
$$I=\left[0,8-1,96\frac{\sqrt{0,8\times 0,2} }{\sqrt{1000} } ;0,8+1,96\frac{\sqrt{0,8\times 0,2} }{\sqrt{1000} } \right]$$
$$I=\left[0,775;0,825\right]$$
Le contrôleur a trouvé $$240$$ cartouches vides sur $$1000$$ donc une fréquence de cartouches ayant une durée de vie supérieure à $$250$$ pages de $$\frac{1000-240}{1000} \approx 0,76$$.
$$0,76\notin \left[0,775;0,825\right]$$ donc il ne faut pas valider la déclaration de l'entreprise.

D'après l'énoncé , on a $$n=900$$ et $$p=0,84$$
Il faut vérifier les conditions suivantes $$n\ge 30$$ , $$np\ge 5$$ et $$n\left(1-p\right)\ge 5$$

• $$900\ge 30$$ donc $$n\ge 30$$
• $$900\times 0,84=756$$ donc $$np\ge 5$$
• $$900\times \left(1-0,84\right)=144$$ donc $$n\left(1-p\right)\ge 5$$

Les trois conditions sont réalisées, on peut donc calculer l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de $$95\%$$.
On a alors :
$$I=\left[p-1,96\times \frac{\sqrt{p\times \left(1-p\right)} }{\sqrt{n} } ;p+1,96\times \frac{\sqrt{p\times \left(1-p\right)} }{\sqrt{n} } \right]$$
$$I=\left[0,84-1,96\times \frac{\sqrt{0,84\times \left(1-0,84\right)} }{\sqrt{900} } ;0,84-1,96\times \frac{\sqrt{0,84\times \left(1-0,84\right)} }{\sqrt{900} } \right]$$
$$I=\left[0,816;0,864\right] .$$
Ici $$0,816$$ est une valeur approchée par défaut de $$0,84-1,96\times \frac{\sqrt{0,84\times \left(1-0,84\right)} }{\sqrt{900} }$$
Ici $$0,864$$ est une valeur approchée par excès de $$0,84+1,96\times \frac{\sqrt{0,84\times \left(1-0,84\right)} }{\sqrt{900} }$$
En $$2010$$, sur $$900$$ personnes interrogées, $$795$$ d'entre elles déclarent consommer des glaces, ce qui fait une proportion de $$f_{obs} =\frac{795}{900} \approx 0,883$$.
Or $$f_{obs} \notin \left[0,816;0,864\right]$$ donc on ne peut pas affirmer, au niveau de confiance de $$95\%$$, que le pourcentage de Français consommant régulièrement des glaces est resté stable entre $$2000$$ et $$2010$$.

Dans l'exercice , nous avons $$f_{obs} =\frac{99}{140}$$ et $$n=140$$

• Or $$n=140\ge 30$$
• $$140\times \frac{99}{140} =99$$ donc $$n\times f_{obs} \ge 5$$
• $$140\times \left(1-\frac{99}{140} \right)=41$$ donc $$n\times \left(1-f_{obs} \right)\ge 5$$

Les trois conditions sont réalisées, on peut donc calculer l'intervalle de confiance.
Il vient alors :
$$I=\left[\frac{99}{140} -\frac{1}{\sqrt{140} } ;\frac{99}{140} +\frac{1}{\sqrt{140} } \right]$$ donc $$I=\left[0,622;0,792\right]$$
Ici $$0,622$$ est une valeur approchée par défaut de $$\frac{99}{140} -\frac{1}{\sqrt{140} }$$
Ici $$0,792$$ est une valeur approchée par excès de $$\frac{99}{140} +\frac{1}{\sqrt{140} }$$
$$I=\left[0,622;0,792\right]$$ est donc un intervalle de confiance au seuil de $$95\%$$ de la proportion de personnes satisfaites parmi les utilisateurs de la crème.

Dans l'exercice , nous avons $$f_{obs} =0,529$$ et $$n=1200$$

• Or $$n=1200\ge 30$$
• $$1200\times 0,529=634,8$$ donc $$n\times f_{obs} \ge 5$$
• $$1200\times \left(1-0,529\right)=565,2$$ donc $$n\times \left(1-f_{obs} \right)\ge 5$$

Les trois conditions sont réalisées, on peut donc calculer l'intervalle de confiance.
Il vient alors :
$$I=\left[0,529-\frac{1}{\sqrt{1200} } ;0,529+\frac{1}{\sqrt{1200} } \right]$$ donc $$I=\left[0,50001;0,5579\right]$$
Ici $$0,5001$$ est une valeur approchée par défaut de $$0,529-\frac{1}{\sqrt{1200} }$$
Ici $$0,5579$$ est une valeur approchée par excès de $$0,529+\frac{1}{\sqrt{1200} }$$
Dans $$95\%$$ des cas le candidat $$A$$ sera élu.
Il peut légitimement croire en sa victoire.

D'après l'énoncé , on a $$n=1000$$ et $$p=0,01$$
Il faut vérifier les conditions suivantes $$n\ge 30$$ , $$np\ge 5$$ et $$n\left(1-p\right)\ge 5$$

• $$1000\ge 30$$ donc $$n\ge 30$$
• $$1000\times 0,01=10$$ donc $$np\ge 5$$
• $$1000\times \left(1-0,01\right)=990$$ donc $$n\left(1-p\right)\ge 5$$

Les trois conditions sont réalisées , on peut donc calculer l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95%.
On a alors :
$$I=\left[p-1,96\times \frac{\sqrt{p\times \left(1-p\right)} }{\sqrt{n} } ;p+1,96\times \frac{\sqrt{p\times \left(1-p\right)} }{\sqrt{n} } \right]$$
$$I=\left[0,01-1,96\times \frac{\sqrt{0,01\times \left(1-0,01\right)} }{\sqrt{1000} } ;0,01+1,96\times \frac{\sqrt{0,01\times \left(1-0,01\right)} }{\sqrt{1000} } \right]$$
$$I=\left[0,003;0,017\right] .$$
Ici $$0,003$$ est une valeur approchée par défaut de $$0,01-1,96\times \frac{\sqrt{0,01\times \left(1-0,01\right)} }{\sqrt{1000} }$$
Ici $$0,017$$ est une valeur approchée par excès de $$0,01+1,96\times \frac{\sqrt{0,01\times \left(1-0,01\right)} }{\sqrt{1000} }$$

Sur $$1 000$$ personnes possédant le gène, on a trouvé $$14$$ personnes porteuses de la maladie V , ce qui fait une proportion de $$f_{obs} =\frac{14}{1000} \approx 0,014$$.
Or $$f_{obs} \in \left[0,003;0,017\right]$$.
Cette fréquence appartient à l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de $$95\%$$ donc l'échantillon étudié peut être considéré comme « normal » on peut conclure que le gène ne semble pas avoir d'influence sur la maladie.