Exercice 2 - Exercice 1

La bonne réponse est a.
De manière générale, l'amplitude pour un intervalle de confiance est donnée par la formule $$\frac{2}{\sqrt{n} }$$.
Dans notre exemple on a donc $$0,3575-0,2975=0,06$$
Nous devons résoudre l'inéquation $$\frac{2}{\sqrt{n} } =0,06$$.
Ainsi :
$$\frac{2}{\sqrt{n} } =0,06$$ équivaut successivement à
$$\frac{2}{\sqrt{n} } =\frac{0,06}{1}$$
$$\frac{\sqrt{n} }{2} =\frac{1}{0,06}$$ ( si $$a=b$$ alors $$\frac{1}{a} =\frac{1}{b}$$)
$$\sqrt{n} =\frac{2}{0,06}$$
$$n=\left(\frac{2}{0,06} \right)^{2}$$
Finalement ( N'oubliez pas d'arrondir à l'entier supérieur )

La bonne réponse est b.
La fréquence observé de fans de Barcelone FC est de $$f_{obs} =\frac{8}{38} \approx 0,21$$
Or $$f_{obs} \notin \left[0,08;0,12\right]$$ donc la classe n'est pas en conformité avec le lycée.

La bonne réponse est c.
La largeur diminue. C'est pour cela que pour avoir un bon sondage, il faut avoir un maximum de personnes interrogées.
Si l'on regarde les formules, c'est plutôt simple à deviner : la partie que l'on ajoute ou que l'on retire à $$p$$ ou à $$f$$ est divisée par racine de $$n$$ donc plus $$n$$ est grand, plus la partie sera petite.

La réponse est a.
Il faut vérifier les conditions suivantes : $$n\ge 30$$ , $$np\ge 5$$ et $$n\left(1-p\right)\ge 5$$. Ici $$p=0,91$$ et $$n=100$$
$$100\ge 30$$ donc $$n\ge 30$$
$$100\times 0,91=91$$ donc $$np\ge 5$$
$$100\times \left(1-0,91\right)=9$$ donc $$n\left(1-p\right)\ge 5$$

Les trois conditions sont réalisées , on peut donc calculer l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de $$95\%$$.
On a alors :
$$I=\left[p-1,96\times \frac{\sqrt{p\times \left(1-p\right)} }{\sqrt{n} } ;p+1,96\times \frac{\sqrt{p\times \left(1-p\right)} }{\sqrt{n} } \right]$$
$$I=\left[0,91-1,96\times \frac{\sqrt{0,91\times \left(1-0,91\right)} }{\sqrt{100} } ;0,91+1,96\times \frac{\sqrt{0,91\times \left(1-0,91\right)} }{\sqrt{100} } \right]$$
$$I=\left[0,853;0,967\right]$$

Ici $$0,853$$ est une valeur approchée par défaut de $$0,91-1,96\times \frac{\sqrt{0,91\times \left(1-0,91\right)} }{\sqrt{100} }$$
Ici $$0,967$$ est une valeur approchée par excès de $$0,91+1,96\times \frac{\sqrt{0,91\times \left(1-0,91\right)} }{\sqrt{100} }$$

Or $$f_{obs} \in \left[0,853;0,967\right]$$, donc la machine à sous fonctionne correctement.
Dans l'échantillon, nous avons $$13$$ utilisateurs qui sont connectés moins de 500 minutes par semaine.
Autrement dit, nous avons $$87$$ utilisateurs qui sont connectés plus de $$500$$ minutes par semaine.
Ainsi $$f_{obs} =\frac{87}{100} =0,87$$
Or $$f_{obs} \in \left[0,853;0,967\right]$$, donc l'affirmation du réseau social FUSEBOOC est vraie.

Il faut vérifier les conditions suivantes : $$n\ge 30$$ , $$np\ge 5$$ et $$n\left(1-p\right)\ge 5$$.
Ici $$p=0,9$$ et $$n=550$$
$$550\ge 30$$ donc $$n\ge 30$$
$$550\times 0,9=495$$ donc $$np\ge 5$$
$$550\times \left(1-0,9\right)=55$$ donc $$n\left(1-p\right)\ge 5$$

Les trois conditions sont réalisées , on peut donc calculer l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de $$95\%$$.
On a alors :
$$I=\left[p-1,96\times \frac{\sqrt{p\times \left(1-p\right)} }{\sqrt{n} } ;p+1,96\times \frac{\sqrt{p\times \left(1-p\right)} }{\sqrt{n} } \right]$$
$$I=\left[0,9-1,96\times \frac{\sqrt{0,9\times \left(1-0,9\right)} }{\sqrt{550} } ;0,9+1,96\times \frac{\sqrt{0,9\times \left(1-0,9\right)} }{\sqrt{550} } \right]$$
$$I=\left[0,874;0,926\right]$$

Ici $$0,874$$ est une valeur approchée par défaut de $$0,9-1,96\times \frac{\sqrt{0,9\times \left(1-0,9\right)} }{\sqrt{550} }$$
Ici $$0,926$$ est une valeur approchée par excès de $$0,9+1,96\times \frac{\sqrt{0,9\times \left(1-0,9\right)} }{\sqrt{550} }$$

Dans l'échantillon, nous avons 80 tablettes qui ne répondent pas au critère.
Autrement dit, nous avons 470 tablettes qui répondent pas au critère.
Ainsi : $$f_{obs} =\frac{470}{550} \approx 0,854$$
Or $$f_{obs} \notin \left[0,874;0,926\right]$$.
Donc on peut remettre en cause l'affirmation de la chocolaterie.

La bonne réponse est c.
On sait que qu'un intervalle de confiance à 95% avec une amplitude pour $$n=100$$ égale à $$A$$, ainsi $$\frac{2}{\sqrt{100} } =A$$ ou encore $$A=\frac{1}{5}$$
Si l'on souhaite déterminer l'amplitude lorsque $$n=10000$$ alors celle si sera égale à $$\frac{2}{\sqrt{10000} }$$.
Or $$\frac{2}{\sqrt{10000} } =\frac{1}{50}$$ et comme $$A=\frac{1}{5}$$ alors $$\frac{2}{\sqrt{10000} } =\frac{A}{10}$$

La bonne réponse est a.
Dans l'exercice , nous avons $$f_{obs} =\frac{52}{100}$$ donc $$f_{obs} =0,52$$.
Or $$n=400\ge 30$$
$$400\times 0,52=208$$ donc $$n\times f_{obs} \ge 5$$
$$400\times \left(1-0,52\right)=192$$ donc $$n\times \left(1-f_{obs} \right)\ge 5$$

Les trois conditions sont réalisées, on peut donc calculer l'intervalle de confiance.
Il vient alors :
$$I=\left[0,52-\frac{1}{\sqrt{400} } ;0,52+\frac{1}{\sqrt{400} } \right]$$ donc $$I=\left[0,52;0,65\right]$$
$$I=\left[0,52-\frac{1}{20} ;0,52+\frac{1}{20} \right]$$
$$I=\left[0,52-0,05;0,52+0,05\right]$$

La bonne réponse est a.
Ici on connait la valeur de la fréquence observée sur l'échantillon qui est $$f=0,52$$.
On souhaite donc construire un intervalle de confiance de la forme $$\left[f-\frac{1}{\sqrt{n} } ;f+\frac{1}{\sqrt{n} } \right]$$où la borne inférieure $$f-\frac{1}{\sqrt{n} }$$ doit être strictement supérieure à 0,5 .
Ainsi :
$$f-\frac{1}{\sqrt{n} } >0,5$$ équivaut successivement à
$$0,52-\frac{1}{\sqrt{n} } >0,5$$
$$-\frac{1}{\sqrt{n} } >0,5-0,52$$
$$-\frac{1}{\sqrt{n} } >-0,02$$
$$\frac{1}{\sqrt{n} } <0,02$$ (on a multiplié par $$-1$$, on change donc le sens de l'inéquation)
$$\sqrt{n} >\frac{1}{0,02}$$ (on inverse les quotients , on change donc aussi le sens de l'inéquation)
$$n>\left(\frac{1}{0,02} \right)^{2}$$
$$n>2500$$, donc .