Probabilités conditionnelles et loi binomiale

Loi binomiale - Exercice 1

15 min
20
Une urne dispose de 55 boules rouges et 44 boules blanches.
Question 1

On tire successivement et avec remise 77 boules.
Quelle est la probabilité de tirer exactement 22 blanches ?

Correction
A chaque tirage la probabilité de tirer une boule blanche est de 49\frac{4}{9} .
On est donc en présence d'un schéma de Bernoulli :
On appelle succès « tirer une boule blanche » avec la probabilité p=49p=\frac{4}{9} .
On appelle échec « tirer une boule rouge » avec la probabilité 1−p=591-p=\frac{5}{9} .
On répète sept fois de suite cette expérience de façon indépendante.
XX est la variable aléatoire qui associe le nombre de fois que l'on tire une boule blanche.
XX suit la loi binomiale de paramètre n=7n=7 et p=49p=\frac{4}{9} .
On note alors : X∼B(7;49)X \sim B\left(7;\frac{4}{9} \right)

On doit calculer P(X=2)=(72)×(49)2×(59)7−2≈0,22P\left(X=2\right)=\left(\begin{array}{c} {7} \\ {2} \end{array}\right)\times \left(\frac{4}{9} \right)^{2} \times \left(\frac{5}{9} \right)^{7-2} \approx 0,22
Pour le calcul de P(X=2)P\left(X=2\right),
Avec une Texas :\red{\text{Avec une Texas :}} pour P(X=2)P\left(X=2\right) on tape : (cf. fiche Utiliser la loi binomiale avec une Texas)
2nd - DISTR -- puis choisir
BinomFdp(valeur de nn, valeur de pp, valeur de kk) c'est-à-dire ici : BinomFdp(77; 49\frac{4}{9} ; 22) puis taper sur enter et on obtient :
P(X=2)≈0,22P\left(X=2\right)\approx 0,22
arrondi à 10−310^{-3} près.
Pour certaine version de Texas, on aura BinomPdf au lieu de BinomFdp.
Avec une calculatrice Casio Graph 35+ ou modeˋle supeˊrieur :\red{\text{Avec une calculatrice Casio Graph 35+ ou modèle supérieur :}}
pour P(X=2)P\left(X=2\right) on tape : (cf. fiche Utiliser la loi binomiale avec une Casio)
Choisir Menu Stat puis DIST puis BINM et prendre BPD puis VAR.
On remplit le tableau de la manière qui suit :
D.P. Binomiale
Data Variable
xx : 22 Valeur de kk
Numtrial : 77 Valeur de nn
pp : 49\frac{4}{9} Valeur de pp

Puis taper sur EXE et on obtient :
P(X=2)≈0,22P\left(X=2\right)\approx 0,22
arrondi à 10−310^{-3} près.
Question 2

On lance un dé 1010 fois.
Quelle est la probabilité de tirer au moins un chiffre supérieur ou égal à 55 ?

Correction
A chaque lancer la probabilité de tirer un chiffre supérieur ou égal à 5 est de 13\frac{1}{3} .
On est donc en présence d'un schéma de Bernoulli :
On appelle succès « tirer un chiffre supérieur ou égal à 5 » avec la probabilité p=13p=\frac{1}{3} .
On appelle échec « ne pas tirer un chiffre supérieur ou égal à 5 » avec la probabilité 1−p=231-p=\frac{2}{3} .
On répète dix fois de suite cette expérience de façon indépendante.
XX est la variable aléatoire qui associe le nombre de fois que l'on tire un chiffre supérieur ou égal à 5.
XX suit la loi binomiale de paramètre n=10n=10 et p=13p=\frac{1}{3} .
On note alors X∼B(10;13)X \sim B\left(10;\frac{1}{3} \right)

On doit calculer P(X≥1)P\left(X\ge 1\right).
  • P(X≥1)=1−P(X=0)P\left(X\ge 1\right)=1-P\left(X=0\right)
Pour le calcul de P(X=0)P\left(X=0\right),
Avec une Texas :\red{\text{Avec une Texas :}} on tape pour P(X=0)P\left(X=0\right) (cf. fiche Utiliser la loi binomiale avec une Texas)
2nd - DISTR -- puis choisir
BinomFdp(valeur de n, valeur de p, valeur de k) c'est-à-dire ici BinomFdp(10, 13\frac{1}{3} , 0) puis taper sur enter et on obtient :
P(X=0)≈0,017P\left(X=0\right)\approx 0,017
arrondi à 10−310^{-3} près.
Pour certaine version de Texas, on aura BinomPdf au lieu de BinomFdp.
Enfin : P(X≥1)=1−P(X=0)P\left(X\ge 1\right)=1-P\left(X=0\right)
Soit : P(X≥1)=1−P(X=0)P\left(X\ge 1\right)=1-P\left(X=0\right)
D'où : P(X≥1)≈1−0,017≈0,983P\left(X\ge 1\right)\approx 1-0,017\approx 0,983 arrondi à 10−310^{-3} près.
Avec une calculatrice Casio Graph 35+ ou modeˋle supeˊrieur :\red{\text{Avec une calculatrice Casio Graph 35+ ou modèle supérieur :}} on tape pour P(X=0)P\left(X=0\right) (cf. fiche Utiliser la loi binomiale avec une Casio)
Choisir Menu Stat puis DIST puis BINM et prendre BPD puis VAR.
On remplit le tableau de la manière qui suit :
D.P. Binomiale
Data Variable
xx : 00 Valeur de k
Numtrial : 1010 Valeur de nn
pp : 13\frac{1}{3} Valeur de pp

Puis taper sur EXE et on obtient :
P(X=0)≈0,017P\left(X=0\right)\approx 0,017
arrondi à 10−310^{-3} près.
Enfin : P(X≥1)=1−P(X=0)P\left(X\ge 1\right)=1-P\left(X=0\right)
Soit : P(X≥1)=1−P(X=0)P\left(X\ge 1\right)=1-P\left(X=0\right)
D'où : P(X≥1)≈1−0,017≈0,983P\left(X\ge 1\right)\approx 1-0,017\approx 0,983 arrondi à 10−310^{-3} près.