Probabilités conditionnelles et loi binomiale

Exercice 4 - Exercice 1

1 min
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Pour chacune des questions, une seule des réponses aa , bb, cc et dd est exacte.
Vous devez bien sûr justifier.
Question 1

AA et BB sont deux évènements indépendants et on sait que p(A)=0,5p(A)=0,5 et p(B)=0,2p(B)=0,2.
La probabilité de l'évènement A∪BA\cup B est égale à :
  • 0,10,1
  • 0,70,7
  • 0,60,6
  • On ne peut pas savoir

Correction
La bonne réponse est c.
Comme AA et BB sont deux évènements indépendants alors p(A∩B)=P(A)×P(B)p\left(A\cap B\right)=P\left(A\right)\times P\left(B\right)
Ainsi :
p(A∩B)=0,5×0,2=0,1p\left(A\cap B\right)=0,5\times 0,2=0,1
Or,
p(A∪B)=p(A)+p(B)−p(A∩B)p\left(A\cup B\right)=p\left(A\right)+p\left(B\right)-p\left(A\cap B\right)
p(A∪B)=0,5+0,2−0,1p\left(A\cup B\right)=0,5+0,2-0,1
p(A∪B)=0,6p\left(A\cup B\right)=0,6
Question 2

Dans un magasin, un bac contient des cahiers soldés.
On sait que 5050% des cahiers ont une reliure spirale et que 7575% des cahiers sont à grands carreaux.
Parmi les cahiers à grands carreaux, 4040% ont une reliure spirale.
Adam choisit au hasard un cahier à reliure spirale.
La probabilité qu'il soit à grands carreaux est égale à :
  • 0,30,3
  • 0,50,5
  • 0,60,6
  • 0,750,75

Correction
La bonne réponse est c.
En appelant SS l'évènement « Le cahier est à spirale » et CC l'évènement « Le cahier est à gros carreaux » on a :
pS(C)=p(S∩C)p(S)p_{S} \left(C\right)=\frac{p\left(S\cap C\right)}{p\left(S\right)} équivaut successivement à
pS(C)=p(C)×pC(S)p(S)p_{S} \left(C\right)=\frac{p\left(C\right)\times p_{C} \left(S\right)}{p\left(S\right)}
pS(C)=0,75×0,40,5p_{S} \left(C\right)=\frac{0,75\times 0,4}{0,5}
pS(C)=0,6p_{S} \left(C\right)=0,6
Question 3
Dans les questions 33 et 44, on suppose que dans ce magasin, un autre bac contient une grande quantité de stylos-feutres en promotion.
On sait que 25%25\% de ces stylos-feutres sont verts.
Albert prélève au hasard et de manière indépendante 33 stylos-feutres.

La probabilité, arrondie à 10−310^{-3} près, qu'il prenne au moins un stylo-feutre vert est égale à :
  • 0,2500,250
  • 0,50,5
  • 0,5780,578
  • 0,9840,984

Correction
La bonne réponse est c.
A chaque question la probabilité de prendre un stylo-feutre est de 0,250,25.
On est donc en présence d'un schéma de Bernoulli :
On appelle succès « prendre un stylo-feutre » avec la probabilité p=0,25p=0,25
On appelle échec « ne pas prendre un stylo-feutre » avec la probabilité 1−p=0,751-p=0,75
On répète trois fois de suite cette expérience de façon indépendante.
XX est la variable aléatoire qui associe le nombre de stylo-feutre vert.
XX suit la loi binomiale de paramètre n=3n=3 et p=0,25p=0,25.
On note alors XX∼\simB(3;0,25)B\left(3;0,25\right)

On doit calculer P(X≥1)P\left(X\ge 1\right).
Or P(X≥1)=1−P(X=0)P\left(X\ge 1\right)=1-P\left(X=0\right)
Pour le calcul de P(X=0)P\left(X=0\right)
Avec une Texas, on tape pour P(X=0)P\left(X=0\right) (cf. fiche « Utiliser la loi binomiale avec une Texas »)
2nd - DISTR -- puis choisir
BinomFdp(valeur de n, valeur de p, valeur de k ) c'est-à-dire ici BinomFdp(3, 0,250,25 , 0) puis taper sur enter et vous obtiendrez
P(X=0)≈0,422P\left(X=0\right)\approx 0,422
arrondi à 10−310^{-3} près.
Pour certaine version de Texas, on aura BinomPdf au lieu de BinomFdp.
Enfin P(X≥1)=1−P(X=0)P\left(X\ge 1\right)=1-P\left(X=0\right) soit P(X≥1)=1−P(X=0)P\left(X\ge 1\right)=1-P\left(X=0\right) d'où P(X≥1)≈1−0,422=0,578.P\left(X\ge 1\right)\approx 1-0,422=0,578.
Avec une Casio Graph 35+ ou modèle supérieur, on tape pour P(X=0)P\left(X=0\right) (cf. fiche « Utiliser la loi binomiale avec une Casio »)
Choisir Menu Stat puis DIST puis BINM et prendre BPD puis VAR.
On remplit le tableau de la manière qui suit :
D.P. Binomiale
Data Variable
xx : 00 Valeur de k
Numtrial : 33 Valeur de nn
pp : 0,250,25 Valeur depp

puis taper sur EXE et vous obtiendrez :
P(X=0)≈0,1296P\left(X=0\right)\approx 0,1296
arrondi à 10−310^{-3} près.
Enfin P(X≥1)=1−P(X=0)P\left(X\ge 1\right)=1-P\left(X=0\right) soit P(X≥1)=1−P(X=0)P\left(X\ge 1\right)=1-P\left(X=0\right) d'où P(X≥1)≈1−0,422=0,578.P\left(X\ge 1\right)\approx 1-0,422=0,578.
Question 4

La probabilité, arrondie à 10−310^{-3} près, qu'il prenne exactement 22 stylos-feutres verts est égale à :
  • 0,0470,047
  • 0,0630,063
  • 0,1410,141
  • 0,5000,500

Correction
La bonne réponse est c.
Pour le calcul de P(X=2)P\left(X=2\right)
Avec une Texas, on tape pour P(X=2)P\left(X=2\right) (cf. fiche « Utiliser la loi binomiale avec une Texas »)
2nd - DISTR -- puis choisir
BinomFdp(valeur de n, valeur de p, valeur de k ) c'est-à-dire ici BinomFdp(33, 0.250.25 , 22) puis taper sur enter et vous obtiendrez
P(X=2)≈0,141P\left(X=2\right)\approx 0,141
arrondi à 10−310^{-3} près.
Pour certaine version de Texas, on aura BinomPdf au lieu de BinomFdp.
Avec une Casio Graph 35+ ou modèle supérieur, on tape pour P(X=2)P\left(X=2\right) (cf. fiche « Utiliser la loi binomiale avec une Casio »)
Choisir Menu Stat puis DIST puis BINM et prendre BPD puis VAR. On remplit le tableau de la manière qui suit
D.P. Binomiale
Data Variable
xx : 22 Valeur de kk
Numtrial : 33 Valeur de nn
pp : 0,250,25 Valeur depp

puis taper sur EXE et vous obtiendrez :
P(X=2)≈0,141P\left(X=2\right)\approx 0,141
arrondi à 10−310^{-3} près.