Les suites numériques

Problèmes sur les suites - Exercice 1

25 min
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Un club de basket compte 10001000 licenciés.
Chaque année on observe une augmentation des licences de 55% .
Soit unu_{n} le nombre de licenciés au bout nn années.
Ainsi, u0=1000u_{0} =1000.
Question 1

Exprimer un+1u_{n+1} en fonction de unu_{n} pour tout entier naturel nn

Correction
On reconnait un coefficient multiplicateur q=1+5100=1,05q=1+\frac{5}{100} =1,05
Chaque terme se déduit du précédent en le multipliant par 1,051,05.
Ainsi, pour tout entier naturel nn :
un+1=1,05×unu_{n+1} =1,05\times u_{n}
Question 2

Qu'en déduire concernant la suite (un)\left(u_{n} \right) ?

Correction
Par conséquent, il en résulte donc que la suite (un)\left(u_{n}\right) est geˊomeˊtrique{\color{blue}\text{géométrique}} de raison q=1,05q=1,05 et de premier terme u0=1000u_{0} =1000
Question 3

Exprimer unu_{n} en fonction de nn

Correction
  • L'expression de unu_{n} en fonction de nn est donnée par la formule
    un=u0×qnu_{n} =u_{0} \times q^{n}
Ainsi :
un=1000×(1,05)nu_{n} =1000\times \left(1,05\right)^{n}
Question 4

Donner le sens de variation de la suite (un)\left(u_{n} \right) ainsi que sa limite

Correction
Pour étudier les variations d'une suite géométrique (un)(u_{n}) tel que : un=u0×qnu_{n} =u_{0} \times q^{n} , on peut appliquer le théorème suivant :
  • Si u0>0u_{0}>0 et q>1q>1 : la suite (un)(u_{n}) est croissante.
  • Si u0<0u_{0}<0 et q>1q>1 : la suite (un)(u_{n}) est décroissante.
  • Si u0<0u_{0}<0 et 0<q<10<q<1 : la suite (un)(u_{n}) est croissante.
  • Si u0>0u_{0}>0 et 0<q<10<q<1 : la suite (un)(u_{n}) est décroissante.
    • Nous avons u0=1000u_{0} =1000 donc u0>0u_{0} >0 de plus q=1,05q=1,05 donc q>1q>1
    Il en résulte donc que la suite (un)\left(u_{n} \right) est croissante.
    • Si 0<q<10<q<1 alors lim⁡n→+∞qn=0\lim\limits_{n\to +\infty } q^{n} =0.
    • Si q>1 q >1 alors lim⁡n→+∞qn=+∞\lim\limits_{n\to +\infty } q^{n} =+\infty.

    Comme 1,05>11,05>1 alors :lim⁡n→+∞(1,05)n=+∞\lim\limits_{n\to +\infty } \left(1,05\right)^{n} =+\infty
    Donc :lim⁡n→+∞1000×(1,05)n=+∞\lim\limits_{n\to +\infty } 1000\times \left(1,05\right)^{n} =+\infty
    Finalement :
    lim⁡n→+∞un=+∞\lim\limits_{n\to +\infty } u_{n} =+\infty
    Question 5

    Ecrire l'algorithme d'un programme permettant de déterminer la plus petite valeur n0n_{0} telle que un0≥2000u_{n_{0} } \ge 2000

    Correction
    Nous allons écrire deux algorithmes.
    Ce premier algorithme utilise la formule de récurrence c'est-à-dire un+1=1,05×unu_{n+1} =1,05\times u_{n}
    Affecter à NN la valeur 00
    Affecter à UU la valeur 10001000
    Tant que UU ≤\mathrm{\le} 20002000
        Affecter à UU la valeur UU ×\times 1,051,05
        Affecter à NN la valeur N+1N+1
    Fin du Tant que
    Afficher NN

    Le second algorithme utilise la formule explicite c'est-à-dire un=1000×(1,05)nu_{n} =1000\times \left(1,05\right)^{n}
    Affecter à NN la valeur 00
    Tant que 10001000 ×\times 1,051,05N ≤\mathrm{\le} 20002000
       Affecter à NN la valeur N+1N+1
    Fin du Tant que
    Afficher NN
    Question 6

    Programmer un tel programme sur votre calculatrice et donner la valeur de n0n_{0} proposée

    Correction
     Pour une Casio :\red{\text{ Pour une Casio :}}
    00 →\mathrm{\to} NN
    While 10001000×\times1,051,05N ≤\mathrm{\le} 20002000
    N+1N+1 →\mathrm{\to} NN
    WhileEnd
    NN

     Pour une Texas :\red{\text{ Pour une Texas :}}
    00 →\mathrm{\to} NN
    While 10001000 ×\times 1,051,05N ≤\mathrm{\le} 2000
       N+1N+1 →\mathrm{\to} NN
    End
    Disp NN

    Les deux programmes donnent une valeur de NN égale à 1515.