Les suites numériques

Problèmes sur les suites

Exercice 1

Un club de basket compte 10001000 licenciés.
Chaque année on observe une augmentation des licences de 55% .
Soit unu_{n} le nombre de licenciés au bout nn années.
Ainsi, u0=1000u_{0} =1000.
1

Exprimer un+1u_{n+1} en fonction de unu_{n} pour tout entier naturel nn

Correction
2

Qu'en déduire concernant la suite (un)\left(u_{n} \right) ?

Correction
3

Exprimer unu_{n} en fonction de nn

Correction
4

Donner le sens de variation de la suite (un)\left(u_{n} \right) ainsi que sa limite

Correction
5

Ecrire l'algorithme d'un programme permettant de déterminer la plus petite valeur n0n_{0} telle que un02000u_{n_{0} } \ge 2000

Correction
6

Programmer un tel programme sur votre calculatrice et donner la valeur de n0n_{0} proposée

Correction

Exercice 2

Une agence de presse a la charge de la publication d'un journal hebdomadaire traitant des informations d'une communauté de communes dans le but de mieux faire connaître les différents événements qui s'y déroulent.
L'agence souhaite dépasser les 40004000 journaux vendus par semaine.
Un sondage prévoit un accueil favorable de ce journal dans la population.
Une étude de marché estime à 12001200 le nombre de journaux vendus lors du lancement du journal avec une progression des ventes de 22% chaque semaine pour les éditions suivantes.
On modélise cette situation par une suite (un)\left(u_{n} \right)unu_{n} représente le nombre de journaux vendus nn semaines après le début de l'opération.
On a donc u0=1200u_{0} =1200
1

Calculer le nombre u1u_{1} de journaux vendus une semaine après le début de l'opération

Correction
2

Ecrire, pour tout entier naturel nn, l'expression de unu_{n} en fonction de nn

Correction
3

A l'aide de la calculatrice, déterminer à partir de combien de semaines le nombre de journaux vendus sera supérieur à 1500

Correction
4

Compléter l'algorithme qui permet de calculer le rang NN à partir duquel uN4000u_{N} \ge 4000
VARIABLES
UU est un réel
NN est un entier naturel
INITIALISATION
UU prend la valeur 12001200
NN prend la valeur 00
TRAITEMENT
Tant que UU .......... 40004000
   NN prend la valeur ...........
   UU prend la valeur ........... ×U\times U
Fin tant que
SORTIE
Afficher NN

Correction
5

Montrer que, pour tout entier naturel nn, on a 1+1,02+1,022++1,02n=50×(1,02n+11)1+1,02+1,02^{2} +\ldots +1,02^{n} =50\times \left(1,02^{n+1} -1\right)

Correction
6

On pose, pour tout entier naturel nn, Sn=u0+u1++unS_{n} =u_{0} +u_{1} +\ldots +u_{n}
A l'aide de la question précédente, montrer que l'on a Sn=60000×(1,02n+11)S_{n} =60000\times \left(1,02^{n+1} -1\right)

Correction
7

Déduire de la question précédente le nombre total de journaux vendus au bout de 5252 semaines.
Le résultat sera arrondi à l'unité.

Correction

Exercice 3

Le 1er janvier 20132013, une grande entreprise compte 15001500 employés.
Une étude montre que lors de chaque année à venir, 1010% de l'effectif du 11er janvier partira à la retraite au cours de l'année.
Pour ajuster ses effectifs à ses besoins, l'entreprise embauche 100100 jeunes dans l'année.
Pour tout entier naturel nn, on appelle unu_{n} le nombre d'employés de l'entreprise le 11er janvier de l'année (2013+n)(2013+n)
1

Calculer u0u_{0}, u1u_{1} et u2u_{2}

Correction
2

La suite uu de terme général unu_{n} est-elle arithmétique ? géométrique ?
Justifiez les réponses.

Correction
On admet que, pour tout entier naturel nn, on a un+1=0,9un+100u_{n+1} =0,9u_{n} +100
Pour tout entier naturel nn, on pose vn=un1000v_{n} =u_{n} -1000
3

Démontrer que la suite (vn)\left(v_{n} \right) de terme général vnv_{n} est géométrique.
Précisez la raison.

Correction
4

Exprimez vnv_{n} en fonction de nn.
En déduire que pour tout entier naturel nn , un=500×0,9n+1000u_{n} =500\times 0,9^{n} +1000

Correction
5

Déterminer la limite de la suite (un)\left(u_{n} \right)

Correction
6

Démontrer que pour tout entier naturel nn : un+1un=50×0,9nu_{n+1} -u_{n} =-50\times 0,9^{n}
En déduire la variation de la suite (un)\left(u_{n} \right)

Correction
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