Les suites numériques

Etudier les variations d'une suite - Exercice 1

10 min
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Question 1
Rappels de 1ère S.
Etudier la variation (ou la monotonie ) de chacune des suites suivantes.

un=3n−5u_{n} =3n-5

Correction
Pour étudier les variations d'une suite (un)(u_{n}) on peut étudier le signe de un+1−unu_{n+1} -u_{n}
  • Si un+1−un>0u_{n+1} -u_{n} >0 : la suite (un)(u_{n}) est croissante.
  • Si un+1−un<0u_{n+1} -u_{n} <0 : la suite (un)(u_{n}) est décroissante.
  • Si un+1−un=0u_{n+1} -u_{n} =0 : la suite (un)(u_{n}) est constante.
    • Comme un=3n−5u_{n} =3n-5 alors un+1=3(n+1)−5u_{n+1} =3\left(n+1\right)-5
    Ainsi :
    un+1−un=3(n+1)−5−(3n−5)u_{n+1} -u_{n} =3\left(n+1\right)-5-(3n-5) équivaut successivement à :
    un+1−un=3n+3−5−3n+5u_{n+1} -u_{n} =3n+3-5-3n+5
    un+1−un=3u_{n+1} -u_{n} =3
    Comme un+1−un>0u_{n+1} -u_{n} >0 : la suite (un)(u_{n}) est croissante.
    Question 2

    un=−2n+7u_{n} =-2n+7

    Correction
    Pour étudier les variations d'une suite (un)(u_{n}) on peut étudier le signe de un+1−unu_{n+1} -u_{n}
  • Si un+1−un>0u_{n+1} -u_{n} >0 : la suite (un)(u_{n}) est croissante.
  • Si un+1−un<0u_{n+1} -u_{n} <0 : la suite (un)(u_{n}) est décroissante.
  • Si un+1−un=0u_{n+1} -u_{n} =0 : la suite (un)(u_{n}) est constante.
    • Comme un=−2n+7u_{n} =-2n+7 alors un+1=−2(n+1)+7u_{n+1} =-2\left(n+1\right)+7
    Ainsi :
    un+1−un=−2(n+1)+7−(−2n+7)u_{n+1} -u_{n} =-2\left(n+1\right)+7-(-2n+7) équivaut successivement à :
    un+1−un=−2−2n+7+2n−7u_{n+1} -u_{n} =-2-2n+7+2n-7
    un+1−un=−2u_{n+1} -u_{n} =-2
    Comme un+1−un<0u_{n+1} -u_{n} <0 : la suite (un)(u_{n}) est décroissante.
    Question 3

    un=2n2+4u_{n} =2n^{2}+4

    Correction
    Pour étudier les variations d'une suite (un)(u_{n}) on peut étudier le signe de un+1−unu_{n+1} -u_{n}
  • Si un+1−un>0u_{n+1} -u_{n} >0 : la suite (un)(u_{n}) est croissante.
  • Si un+1−un<0u_{n+1} -u_{n} <0 : la suite (un)(u_{n}) est décroissante.
  • Si un+1−un=0u_{n+1} -u_{n} =0 : la suite (un)(u_{n}) est constante.
    • Comme un=2n2+4u_{n} =2n^{2}+4 alors un+1=2(n+1)2+4u_{n+1} =2\left(n+1\right)^{2}+4
    Ainsi :
    un+1−un=2(n+1)2+4−(2n2+4)u_{n+1} -u_{n} =2\left(n+1\right)^{2}+4-(2n^{2}+4) équivaut successivement à :
    un+1−un=2(n2+2n+1)+4−2n2−4u_{n+1} -u_{n} =2\left(n^{2} +2n+1\right)+4-2n^{2} -4
    un+1−un=2n2+4n+2+4−2n2−4u_{n+1} -u_{n} =2n^{2} +4n+2+4-2n^{2} -4
    un+1−un=4n+2u_{n+1} -u_{n} =4n+2
    Or nn est un entier naturel, donc n≥0n\ge 0. Ainsi 4n+2>04n+2>0.
    Comme un+1−un>0u_{n+1} -u_{n} >0 : la suite (un)(u_{n}) est croissante.