Les lois continues

Loi uniforme - Exercice 1

12 min
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Soit XX une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur l'intervalle [3;7]\left[3;7\right]
Question 1

Déterminer la probabilité suivante P(4X5)P\left(4\le X\le 5\right)

Correction
Soit XX une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur l'intervalle[a;b]\left[a;b\right] alors : P(cXd)=dcbaP\left(c\le X\le d\right)=\frac{d-c}{b-a}
La fonction de densité de probabilité de la loi uniforme sur [3;7]\left[3;7\right] est f(x)=173=14f\left(x\right)=\frac{1}{7-3} =\frac{1}{4}
P(4X5)=5473P\left(4\le X\le 5\right)=\frac{5-4}{7-3} équivaut successivement à :
Ainsi :
P(4X5)=14P\left(4\le X\le 5\right)=\frac{1}{4}
Question 2

Déterminer la probabilité suivante P(X6)P\left(X\ge 6\right)

Correction
Soit XX une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur l'intervalle[a;b]\left[a;b\right] alors : P(cXd)=dcbaP\left(c\le X\le d\right)=\frac{d-c}{b-a}
On a : P(X6)=P(6X7)P\left(X\ge 6\right)=P\left(6\le X\le 7\right) car ff définie une loi à densité sur l'intervalle [3;7]\left[3;7\right]
P(6X7)=7673P\left(6\le X\le 7\right)=\frac{7-6}{7-3} équivaut successivement à :
Ainsi :
P(6X7)=14P\left(6\le X\le 7\right)=\frac{1}{4}
Question 3

Déterminer la probabilité suivante P(X92)P\left(X\le \frac{9}{2} \right)

Correction
Soit XX une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur l'intervalle[a;b]\left[a;b\right] alors : P(cXd)=dcbaP\left(c\le X\le d\right)=\frac{d-c}{b-a}
P(X92)=P(3X92)P\left(X\le \frac{9}{2} \right)=P\left(3\le X\le \frac{9}{2} \right)
P(3X92)=92373P\left(3\le X\le \frac{9}{2} \right)=\frac{\frac{9}{2} -3}{7-3} équivaut successivement à :
Ainsi :
P(3X92)=38P\left(3\le X\le \frac{9}{2} \right)=\frac{3}{8}
Question 4

Déterminer la probabilité suivante P(X=4)P\left(X=4\right)

Correction
De manière générale, avec les lois continues :
P(X=b)=0P\left(X=b\right)=0
.
Ainsi :
P(X=4)=0P\left(X=4\right)=0
Question 5

Calculer l'espérance de XX

Correction
Si XX suit la loi uniforme sur un intervalle [a,b]\left[a,b\right] alors son espérance mathématique vaut : E(X)=a+b2E\left(X\right)=\frac{a+b}{2}
Il en résulte que :
E(X)=3+72=5E\left(X\right)=\frac{3+7}{2} =5