Notons
X la variable aléatoire définie sur
[0;1] dont la loi de probabilité a pour densité
f.
On doit vérifier que :
- f est continue sur [0;1]
- f est positive sur [0;1]
- ∫01f(x)dx=1
x↦x+21 est une fonction affine.
Par définition, une fonction affine est continue sur
R donc en particulier sur
[0;1].
De plus,
x∈[0;1] donc :
0≤x≤1 équivaut successivement à :
0+21≤x+21≤1+2121≤f(x)≤23 .
Ainsi
f est positive sur
[0;1].
Enfin,
∫01f(x)dx=∫01(x+21)dxSoit
f(x)=x+21, on note une primitive de
f la fonction
F(x)=21x2+21x .
∫01f(x)dx=F(1)−F(0)∫01f(x)dx=(21×12+21×1)−(21×02+21×0)D'où :
∫01f(x)dx=1.
Il en résulte que la fonction
f définie une loi à densité sur l'intervalle
[0;1]