La fonction logarithme

Propriétés algébriques - Exercice 1

25 min
35
Simplifier les expressions suivantes :
Question 1

A=ln⁡(2)+ln⁡(5)A=\ln \left(2\right)+\ln \left(5\right)

Correction
  • ln⁡(a)+ln⁡(b)=ln⁡(a×b)\ln \left(a\right)+\ln \left(b\right)=\ln \left(a\times b\right)
  • ln⁡(a)−ln⁡(b)=ln⁡(ab)\ln \left(a\right)-\ln \left(b\right)=\ln \left(\frac{a}{b} \right)
  • 12ln⁡(a)=ln⁡(a)\frac{1}{2} \ln \left(a\right)=\ln \left(\sqrt{a} \right)
  • ln⁡(1a)=−ln⁡(a)\ln \left(\frac{1}{a} \right)=-\ln \left(a\right)
  • ln⁡(an)=nln⁡(a)\ln \left(a^{n} \right)=n\ln \left(a\right)
  • ln⁡(ea)=a\ln \left(e^{a} \right)=a
A=ln⁡(2×5)A=\ln \left(2\times 5\right) équivaut successivement à :
A=ln⁡(10)A=\ln \left(10\right)
Question 2

B=ln⁡(3)−ln⁡(4)B=\ln \left(3\right)-\ln \left(4\right)

Correction
  • ln⁡(a)+ln⁡(b)=ln⁡(a×b)\ln \left(a\right)+\ln \left(b\right)=\ln \left(a\times b\right)
  • ln⁡(a)−ln⁡(b)=ln⁡(ab)\ln \left(a\right)-\ln \left(b\right)=\ln \left(\frac{a}{b} \right)
  • 12ln⁡(a)=ln⁡(a)\frac{1}{2} \ln \left(a\right)=\ln \left(\sqrt{a} \right)
  • ln⁡(1a)=−ln⁡(a)\ln \left(\frac{1}{a} \right)=-\ln \left(a\right)
  • ln⁡(an)=nln⁡(a)\ln \left(a^{n} \right)=n\ln \left(a\right)
  • ln⁡(ea)=a\ln \left(e^{a} \right)=a
B=ln⁡(34)B=\ln \left(\frac{3}{4} \right)
Question 3

C=3ln⁡(2)+2ln⁡(3)−12ln⁡(9)C=3\ln \left(2\right)+2\ln \left(3\right)-\frac{1}{2} \ln \left(9\right)

Correction
  • ln⁡(a)+ln⁡(b)=ln⁡(a×b)\ln \left(a\right)+\ln \left(b\right)=\ln \left(a\times b\right)
  • ln⁡(a)−ln⁡(b)=ln⁡(ab)\ln \left(a\right)-\ln \left(b\right)=\ln \left(\frac{a}{b} \right)
  • 12ln⁡(a)=ln⁡(a)\frac{1}{2} \ln \left(a\right)=\ln \left(\sqrt{a} \right)
  • ln⁡(1a)=−ln⁡(a)\ln \left(\frac{1}{a} \right)=-\ln \left(a\right)
  • ln⁡(an)=nln⁡(a)\ln \left(a^{n} \right)=n\ln \left(a\right)
  • ln⁡(ea)=a\ln \left(e^{a} \right)=a
C=3ln⁡(2)+2ln⁡(3)−12ln⁡(9)C=3\ln \left(2\right)+2\ln \left(3\right)-\frac{1}{2} \ln \left(9\right) équivaut successivement à :
C=ln⁡(23)+ln⁡(32)−ln⁡(9)C=\ln \left(2^{3} \right)+\ln \left(3^{2} \right)-\ln \left(\sqrt{9} \right)
C=ln⁡(8)+ln⁡(9)−ln⁡(3)C=\ln \left(8\right)+\ln \left(9\right)-\ln \left(3\right)
C=ln⁡(8×9)−ln⁡(3)C=\ln \left(8\times 9\right)-\ln \left(3\right)
C=ln⁡(72)−ln⁡(3)C=\ln \left(72\right)-\ln \left(3\right)
C=ln⁡(723)C=\ln \left(\frac{72}{3} \right)
C=ln⁡(24)C=\ln \left(24\right)
Question 4

D=ln⁡(3−5)+ln⁡(3+5)D=\ln \left(3-\sqrt{5} \right)+\ln \left(3+\sqrt{5} \right)

Correction
  • ln⁡(a)+ln⁡(b)=ln⁡(a×b)\ln \left(a\right)+\ln \left(b\right)=\ln \left(a\times b\right)
  • ln⁡(a)−ln⁡(b)=ln⁡(ab)\ln \left(a\right)-\ln \left(b\right)=\ln \left(\frac{a}{b} \right)
  • ln⁡(1a)=−ln⁡(a)\ln \left(\frac{1}{a} \right)=-\ln \left(a\right)
  • ln⁡(an)=nln⁡(a)\ln \left(a^{n} \right)=n\ln \left(a\right)
  • 12ln⁡(a)=ln⁡(a)\frac{1}{2} \ln \left(a\right)=\ln \left(\sqrt{a} \right)
  • eln⁡a=ae^{\ln a} =a
D=ln⁡(3−5)+ln⁡(3+5)D=\ln \left(3-\sqrt{5} \right)+\ln \left(3+\sqrt{5} \right) équivaut successivement à
D=ln⁡((3−5)×(3+5))D=\ln \left(\left(3-\sqrt{5} \right)\times\left(3+\sqrt{5} \right)\right) .
Ensuite il faut utiliser l'identité remarquable : (a−b)×(a−b)=a2−b2\left(a-b\right)\times \left(a-b\right)=a^{2}-b^{2}
D=ln⁡(32−(5)2)D=\ln \left(3^{2} -\left(\sqrt{5} \right)^{2} \right)
D=ln⁡(9−5)D=\ln \left(9-5\right)
D=ln⁡(4)D=\ln \left(4\right)
Question 5

E=ln⁡(4e5)−ln⁡(4e)E=\ln \left(4e^{5} \right)-\ln \left(\frac{4}{\sqrt{e} } \right)

Correction
  • ln⁡(a)+ln⁡(b)=ln⁡(a×b)\ln \left(a\right)+\ln \left(b\right)=\ln \left(a\times b\right)
  • ln⁡(a)−ln⁡(b)=ln⁡(ab)\ln \left(a\right)-\ln \left(b\right)=\ln \left(\frac{a}{b} \right)
  • 12ln⁡(a)=ln⁡(a)\frac{1}{2} \ln \left(a\right)=\ln \left(\sqrt{a} \right)
  • ln⁡(1a)=−ln⁡(a)\ln \left(\frac{1}{a} \right)=-\ln \left(a\right)
  • ln⁡(an)=nln⁡(a)\ln \left(a^{n} \right)=n\ln \left(a\right)
  • ln⁡(ea)=a\ln \left(e^{a} \right)=a
E=ln⁡(4e5)−ln⁡(4e)E=\ln \left(4e^{5} \right)-\ln \left(\frac{4}{\sqrt{e} } \right) équivaut successivement à :
E=ln⁡(4)+ln⁡(e5)−(ln⁡(4)−ln⁡(e))E=\ln \left(4\right)+\ln \left(e^{5} \right)-\left(\ln \left(4\right)-\ln \left(\sqrt{e} \right)\right)
E=ln⁡(4)+ln⁡(e5)−(ln⁡(4)−12ln⁡(e))E=\ln \left(4\right)+\ln \left(e^{5} \right)-\left(\ln \left(4\right)-\frac{1}{2} \ln \left(e\right)\right)
E=ln⁡(4)+5−(ln⁡(4)−12)E=\ln \left(4\right)+5-\left(\ln \left(4\right)-\frac{1}{2} \right)
E=ln⁡(4)+5−ln⁡(4)+12E=\ln \left(4\right)+5-\ln \left(4\right)+\frac{1}{2}
E=112E=\frac{11}{2}
Question 6

F=ln⁡(12)−ln⁡(24)2ln⁡(5)F=\frac{\ln \left(12\right)-\ln \left(24\right)}{2\ln \left(\sqrt{5} \right)}

Correction
  • ln⁡(a)+ln⁡(b)=ln⁡(a×b)\ln \left(a\right)+\ln \left(b\right)=\ln \left(a\times b\right)
  • ln⁡(a)−ln⁡(b)=ln⁡(ab)\ln \left(a\right)-\ln \left(b\right)=\ln \left(\frac{a}{b} \right)
  • 12ln⁡(a)=ln⁡(a)\frac{1}{2} \ln \left(a\right)=\ln \left(\sqrt{a} \right)
  • ln⁡(1a)=−ln⁡(a)\ln \left(\frac{1}{a} \right)=-\ln \left(a\right)
  • ln⁡(an)=nln⁡(a)\ln \left(a^{n} \right)=n\ln \left(a\right)
  • ln⁡(ea)=a\ln \left(e^{a} \right)=a
F=ln⁡(12)−ln⁡(24)2ln⁡(5)F=\frac{\ln \left(12\right)-\ln \left(24\right)}{2\ln \left(\sqrt{5} \right)} équivaut successivement à :
F=ln⁡(1224)2ln⁡(5)F=\frac{\ln \left(\frac{12}{24} \right)}{2\ln \left(\sqrt{5} \right)}
F=ln⁡(12)2ln⁡(5)F=\frac{\ln \left(\frac{1}{2} \right)}{2\ln \left(\sqrt{5} \right)}
F=ln⁡(12)2×12ln⁡(5)F=\frac{\ln \left(\frac{1}{2} \right)}{2\times \frac{1}{2} \ln \left(5\right)}
F=ln⁡(12)ln⁡(5)F=\frac{\ln \left(\frac{1}{2} \right)}{\ln \left(5\right)}
Question 7

G=ln⁡(e)ln⁡(e3)+ln⁡(1e)G=\frac{\ln \left(e\right)}{\ln \left(e^{3} \right)} +\ln \left(\frac{1}{e} \right)

Correction
  • ln⁡(a)+ln⁡(b)=ln⁡(a×b)\ln \left(a\right)+\ln \left(b\right)=\ln \left(a\times b\right)
  • ln⁡(a)−ln⁡(b)=ln⁡(ab)\ln \left(a\right)-\ln \left(b\right)=\ln \left(\frac{a}{b} \right)
  • 12ln⁡(a)=ln⁡(a)\frac{1}{2} \ln \left(a\right)=\ln \left(\sqrt{a} \right)
  • ln⁡(1a)=−ln⁡(a)\ln \left(\frac{1}{a} \right)=-\ln \left(a\right)
  • ln⁡(an)=nln⁡(a)\ln \left(a^{n} \right)=n\ln \left(a\right)
  • ln⁡(ea)=a\ln \left(e^{a} \right)=a
G=ln⁡(e)ln⁡(e3)+ln⁡(1e)G=\frac{\ln \left(e\right)}{\ln \left(e^{3} \right)} +\ln \left(\frac{1}{e} \right) équivaut successivement à :
G=13−ln⁡(e)G=\frac{1}{3} -\ln \left(e\right)
G=13−1G=\frac{1}{3} -1
G=−23G=-\frac{2}{3}
Question 8

H=ln⁡(2e2)−ln⁡(16)+ln⁡(e)H=\ln \left(2e^{2} \right)-\ln \left(16\right)+\ln \left(e\right)

Correction
  • ln⁡(a)+ln⁡(b)=ln⁡(a×b)\ln \left(a\right)+\ln \left(b\right)=\ln \left(a\times b\right)
  • ln⁡(a)−ln⁡(b)=ln⁡(ab)\ln \left(a\right)-\ln \left(b\right)=\ln \left(\frac{a}{b} \right)
  • 12ln⁡(a)=ln⁡(a)\frac{1}{2} \ln \left(a\right)=\ln \left(\sqrt{a} \right)
  • ln⁡(1a)=−ln⁡(a)\ln \left(\frac{1}{a} \right)=-\ln \left(a\right)
  • ln⁡(an)=nln⁡(a)\ln \left(a^{n} \right)=n\ln \left(a\right)
  • ln⁡(ea)=a\ln \left(e^{a} \right)=a
H=ln⁡(2e2)−ln⁡(16)+ln⁡(e)H=\ln \left(2e^{2} \right)-\ln \left(16\right)+\ln \left(e\right) équivaut successivement à :
H=ln⁡(2)+ln⁡(e2)−ln⁡(24)+ln⁡(e)H=\ln \left(2\right)+\ln \left(e^{2} \right)-\ln \left(2^{4} \right)+\ln \left(e\right)
H=ln⁡(2)+2−4ln⁡(2)+1H=\ln \left(2\right)+2-4\ln \left(2\right)+1
H=−3ln⁡(2)+3H=-3\ln \left(2\right)+3
Question 9

I=12ln⁡(27)−2ln⁡(3)+ln⁡(3)I=\frac{1}{2} \ln(27)-2\ln(3)+\ln \left(\sqrt{3} \right)

Correction
  • ln⁡(a)+ln⁡(b)=ln⁡(a×b)\ln \left(a\right)+\ln \left(b\right)=\ln \left(a\times b\right)
  • ln⁡(a)−ln⁡(b)=ln⁡(ab)\ln \left(a\right)-\ln \left(b\right)=\ln \left(\frac{a}{b} \right)
  • ln⁡(1a)=−ln⁡(a)\ln \left(\frac{1}{a} \right)=-\ln \left(a\right)
  • ln⁡(an)=nln⁡(a)\ln \left(a^{n} \right)=n\ln \left(a\right)
  • 12ln⁡(a)=ln⁡(a)\frac{1}{2} \ln \left(a\right)=\ln \left(\sqrt{a} \right)
  • eln⁡a=ae^{\ln a} =a
I=12ln⁡(27)−2ln⁡(3)+ln⁡(3)I=\frac{1}{2} \ln(27)-2\ln(3)+\ln \left(\sqrt{3} \right) équivaut successivement à :
I=12ln⁡(33)−2ln⁡(3)+12ln⁡(3)I=\frac{1}{2} \ln(3^{3})-2\ln(3)+\frac{1}{2}\ln \left(3\right)
I=32ln⁡(3)−2ln⁡(3)+12ln⁡(3)I=\frac{3}{2} \ln(3)-2\ln(3)+\frac{1}{2}\ln \left(3\right)
I=0I=0