Exercices types : $$1$$^ère partie - Exercice 1

Pour tout réel $$x$$ appartenant à l'intervalle $$\left[-7;7\right]$$, on a : $$f'\left(x\right)=-3x^{2} +12x$$.

$$f'\left(x\right)=-3x^{2} +12x$$
Ici la dérivée est une fonction du $$2$$^ème degré.
Pour l'étude du signe de $$-3x^{2} +12x$$, on va utiliser le discriminant.
Alors $$a=-3$$; $$b=12$$ et $$c=0$$.
Or $$\Delta =b^{2} -4ac$$ donc $$\Delta =144$$.
Il existe donc deux racines réelles distinctes.

• $$x_{1} =\frac{-b-\sqrt{\Delta } }{2a}$$ ce qui donne $$x_{1} =4$$.
• $$x_{2} =\frac{-b+\sqrt{\Delta } }{2a}$$ ce qui donne $$x_{2} =0$$.

Comme $$a=-3<0$$, la parabole est tournée vers le bas c'est-à-dire que $$f$$ est du signe de $$a$$ à l'extérieur des racines et du signe opposé à $$a$$ entre les racines.
On en déduit le tableau de variation suivant :

Nous faisons apparaître le zéro recherché dans le tableau de variation donnée. Il vient alors que :

• Sur $$\left[-7;4\right]$$ , la fonction $$f$$ est continue et admet $$1$$ comme minimum.
  La fonction $$f$$ est strictement positive.
  Donc l'équation $$f\left(x\right)=0$$ n'a pas de solution sur cet intervalle.
• Sur $$\left[4;7\right]$$ , la fonction $$f$$ est continue et strictement décroissante.
  De plus, $$f\left(4\right)=33$$ et $$f\left(7\right)=-48$$ .
  Or $$0 \in \left[-48;33\right]$$ , donc d'après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe une unique solution $$\alpha$$ dans $$\left[4;7\right]$$ tel que $$f(x) = 0.$$
  

Finalement, l'équation $$f\left(x\right)=0$$ admet une unique solution sur $$\left[-7;7\right]$$.
A la calculatrice, on vérifie que :
$$f(6,02)\approx0,02751$$ et $$f(6,03)\approx-0,09$$
Or $$0 \in \left[-0,09;0,02751\right]$$, donc d'après le théorème des valeurs intermédiaires on en déduit que : $$6,02\le\alpha\le6,03$$

Ici $$a=1$$, ce qui donne, $$y=f'\left(1\right)\left(x-1\right)+f\left(1\right)$$.
1^ère étape : calculer $$f\left(1\right)$$
$$f\left(1\right)=-1^{3} +6\times 1^{2}+1$$
$$f\left(1\right)=6$$
2^ème étape : calculer $$f'\left(1\right)$$
$$f'\left(1\right)=-3\times 1^{2} +12\times 1$$
$$f'\left(1\right)=9$$
3^ème étape : on remplace les valeurs de $$f\left(1\right)$$ et de $$f'\left(1\right)$$ dans la formule de l'équation de tangente.
On sait que :
$$y=f'\left(1\right)\left(x-1\right)+f\left(1\right)$$
$$y=9\times \left(x-1\right)+6$$
$$y=9x-9+6$$
$$y=9x-3$$
Ainsi l'équation de la tangente à la courbe $$C_{f}$$ au point d'abscisse $$1$$ est alors $$y=9x-3$$.

Pour étudier la convexité de la fonction $$f$$, il faut étudier le signe de $$f''$$.
Pour tout réel $$x$$ appartenant à l'intervalle $$\left[-7;7\right]$$, on a : $$f'\left(x\right)=-3x^{2} +12x$$.
Il vient alors que : $$f''\left(x\right)=-6x +12$$.
$$f''$$ est une fonction affine.
Pour étudier son signe on résout l'inéquation $$-6x+12\ge 0$$, il vient alors :
$$-6x+12\ge 0$$ équivaut successivement à :
$$-6x\ge -12$$
$$x\le \frac{-12}{-6}$$ (on change le sens de l'inéquation car on divise par un nombre négatif)
$$x\le 2$$
Cela signifie que l'on va mettre le signe $$+$$ dans la ligne de $$-6x+12$$ lorsque $$x$$ sera inférieur ou égale à $$2$$.
Il en résulte :