Continuité, dérivation, lectures graphiques et convexité

Exercice 3 - Exercice 1

1 min
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Cet exercice est un questionnaire à choix multiples.
Pour chaque question posée, une seule des réponses proposées est exacte.
On demande bien sûr de justifier.
Question 1
Partie A
Pour les deux questions suivantes, on considère une fonction ff deux fois dérivable sur [−5;3]\left[-5;3\right].
On donne ci-dessous le tableau de variation de f′f'.

La fonction ff est :
  • Croissante sur [−5;3]\left[-5;3\right]
  • Décroissante sur [−5;1]\left[-5;1\right]
  • Décroissante sur [−5;3]\left[-5;3\right]
  • Croissante sur [−5;3]\left[-5;3\right]

Correction
La bonne réponse est b.
  • Si f′f' est négative sur [a;b]\left[a;b\right] donc que ff est décroissante sur [a;b]\left[a;b\right].
  • Si f′f' est positive sur [a;b]\left[a;b\right] donc que ff est croissante sur [a;b]\left[a;b\right].
On va établir le tableau de signe de f′f' et on aura ainsi les variations de ff.
On remarque grâce au tableau de variation de f′f' que :
  • f′f' est négative sur [−5;1]\left[-5;1\right] donc que ff est décroissante sur [−5;1]\left[-5;1\right].
  • f′f' est positive sur [1;3]\left[1;3\right] donc que ff est croissante sur [1;3]\left[1;3\right].

Ce qui donne :
Question 2

La fonction ff est :
  • Convexe sur [−5;−1]\left[-5;-1\right]
  • Concave sur [−5;−1]\left[-5;-1\right]
  • Concave sur [−5;1]\left[-5;1\right]
  • Convexe sur [−5;3]\left[-5;3\right]

Correction
La bonne réponse est b.
  • Si f′f' est croissante [a;b]\left[a;b\right] alors ff est convexe sur [a;b]\left[a;b\right]
  • Si f′f' est décroissante [a;b]\left[a;b\right] alors ff est concave sur [a;b]\left[a;b\right]
D'après le tableau de variation de f′f', on en déduit :
f′f' est croissante [−1;3]\left[-1;3\right] alors ff est convexe sur [−1;3]\left[-1;3\right]
f′f' est décroissante [−5;−1]\left[-5;-1\right] alors ff est concave sur [−5;−1]\left[-5;-1\right]
Question 3
Partie B
Dans cette partie, il faudra répondre Vrai ou Faux mais bien sûr vous devez justifier.
On donne ci-dessous la courbe (C)\left(C\right) représentative de la dérivée f′f' d'une fonction ff définie sur RR.
On admet que la fonction ff est deux fois dérivable sur RR et on note f"f" sa dérivée seconde.
Les droites dd et d′d' sont tangentes à la courbe (C)\left(C\right) respectivement aux points AA d'abscisse (−1)\left(-1\right) et BB d'abscisse 1.

Au point d'abscisse 33, la courbe représentative de la fonction ff admet un point d'inflexion.

Correction
La réponse est Vrai.
Nous disposons de la représentation graphique de f′f'.
Nous allons donc dresser le tableau de variation de f′f' qui nous indiquera ensuite le signe de la dérivée seconde f"f".
Nous en déduirons donc les différents points d'inflexions.
Il vient alors :
On voit que la signe de f′′f'' change de signe au point d'abscisse 33.
Il en résulte que la courbe, au point d'abscisse 33, la courbe représentative de la fonction ff admet un point d'inflexion.
Il en est de même pour l'abscisse −1-1
Question 4

La courbe représentative de la fonction ff est croissante sur l'intervalle ]−∞;−3]\left]-\infty ;-3\right]

Correction
La réponse est Faux.
  • Si f′f' est négative sur [a;b]\left[a;b\right] donc que ff est décroissante sur [a;b]\left[a;b\right].
  • Si f′f' est positive sur [a;b]\left[a;b\right] donc que ff est croissante sur [a;b]\left[a;b\right].
Nous disposons de la représentation graphique de f′f'.
Nous allons donc dresser le tableau de signe de f′f'.
La courbe représentative de la fonction ff est décroissante sur l'intervalle ]−∞;−3]\left]-\infty ;-3\right]
Question 5

La courbe représentative de la fonction ff est concave sur l'intervalle [−1;3]\left[-1;3\right].

Correction
La réponse est Vrai.
Nous disposons de la représentation graphique de f′f'.
Nous allons donc dresser le tableau de variation de f′f' qui nous indiquera ensuite le signe de la dérivée seconde f"f".
On obtiendra ainsi la convexité de ff.
Il vient alors :

La courbe représentative de la fonction ff est bien concave sur l'intervalle [−1;3]\left[-1;3\right].
Question 6
Partie C
Dans cette partie, il faudra répondre Vrai ou Faux mais bien sûr vous devez justifier.
On donne ci-dessous la courbe (C)\left(C\right) représentative d'une fonction ff définie sur RR.

f′(−1)=0f'\left(-1\right)=0 et f′(1)=2f'\left(1\right)=2

Correction
La proposition est Faux.

Pour déterminer la valeur de f′(−1)f'\left(-1\right), on doit lire le coefficient directeur de la tangente au point d'abscisse 00.
f′(−1)=0f'\left(-1\right)=0
car la tangente est horizontale

Pour déterminer la valeur de f′(−1)f'\left(-1\right), on doit lire le coefficient directeur de la tangente au point d'abscisse −1-1.
f′(1)=verticalehorizontalef'\left(1\right)=\frac{verticale}{horizontale} (cf. vidéo Lecture graphique et nombre dérivée).
f′(1)=−32f'\left(1\right)=-\frac{3}{2} donc
f′(1)=−32f'\left(1\right)=-\frac{3}{2}
Question 7

Le signe de f′(4)f'\left(4\right) est négatif.

Correction
La proposition est Faux.
  • Si ff est décroissante sur [a;b]\left[a;b\right] alors f′f' est négative sur [a;b]\left[a;b\right]
  • Si ff est croissante sur [a;b]\left[a;b\right] alors f′f' est positive sur [a;b]\left[a;b\right]
Nous disposons de la représentation graphique de ff.
Nous allons donc dresser le tableau de variation de ff et nous obtiendrons le signe de f′f'.
Il vient alors que :

Sur l'intervalle [3;+∞[\left[3;+\infty \right[ la fonction ff est croissante il en résulte donc f′f' est positive sur [3;+∞[\left[3;+\infty \right[.
Ainsi le signe de f′(4)f'\left(4\right) est positif.
Question 8

Un encadrement de ∫12f(x)dx\int _{1}^{2}f\left(x\right)dx par des entiers naturels successifs est : 2≤∫12f(x)dx≤32\le \int _{1}^{2}f\left(x\right)dx \le 3.

Correction
La proposition est Faux
La fonction ff est positive sur [1;2]\left[1;2\right] donc l'intégrale II est positive et est égale à l'aire sous la courbe et l'axe des abscisses et délimité par les droites verticales x=1x=1 et x=2x=2.
Il suffit de compter les nombres de carreaux sous la courbe et l'axe des abscisses et délimité par les droites verticales x=1x=1 et x=2x=2.
Il y a plus d'un carreau mais moins de deux carreaux, donc 1≤∫12f(x)dx≤21\le \int _{1}^{2}f\left(x\right)dx \le 2
Question 9
Partie D.
une seule des réponses proposées est exacte.

C1C_{1}, C2C_{2}, C3C_{3} sont les courbes représentatives d’une fonction ff, de sa dérivée f′f' et d’une de ses primitives FF.
C1C_{1}, C2C_{2}, C3C_{3} sont respectivement les courbes représentatives de :
  • ff , f′f' et FF
  • f′f', ff et FF
  • FF, f′f' et ff
  • f′f', FF et ff

Correction
La bonne réponse est dd.
D'après le graphique, nous allons considérer travailler sur l'intervalle [−2;2]\left[-2;2\right].
On observe que :
  • Si f′f' est négative sur [a;b]\left[a;b\right] alors ff est décroissante sur [a;b]\left[a;b\right]
  • Si f′f' est positive sur [a;b]\left[a;b\right] alors ff est croissante sur [a;b]\left[a;b\right]
  • Lorsque ff est positive sur [a;b]\left[a;b\right] alors FF est croissante sur [a;b]\left[a;b\right]
  • Lorsque ff est négative sur [a;b]\left[a;b\right] alors FF est décroissante sur [a;b]\left[a;b\right]