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Fonction polynôme du second degré : $f\left(x\right)=ax^{2} +bx+c$
La forme canonique - Exercice 1
20 min
35
Question 1
Déterminer la forme canonique de la fonction
f
f
f
définie sur
R
\mathbb{R}
R
par
f
(
x
)
=
x
2
−
6
x
+
3
f\left(x\right)=x^{2} -6x+3
f
(
x
)
=
x
2
−
6
x
+
3
.
Correction
Toute fonction polynôme
f
f
f
de degré
2
2
2
définie sur
R
\mathbb{R}
R
par
f
(
x
)
=
a
x
2
+
b
x
+
c
f\left(x\right)=ax^{2}+bx+c
f
(
x
)
=
a
x
2
+
b
x
+
c
avec
a
≠
0
a\ne0
a
=
0
, peut s'écrire sous la forme :
f
(
x
)
=
a
(
x
−
α
)
2
+
β
f\left(x\right)=a\left(x-\alpha \right)^{2} +\beta
f
(
x
)
=
a
(
x
−
α
)
2
+
β
avec
α
=
−
b
2
a
\alpha =\frac{-b}{2a}
α
=
2
a
−
b
et
β
=
f
(
α
)
\beta =f\left(\alpha \right)
β
=
f
(
α
)
1
ère
étape
: On définit les valeurs
a
a
a
,
b
b
b
et
c
c
c
.
a
=
a=
a
=
nombre devant
x
2
x^{2}
x
2
d'où
a
=
1
a=1
a
=
1
b
=
b=
b
=
nombre devant
x
x
x
d'où
b
=
−
6
b=-6
b
=
−
6
c
=
c=
c
=
nombre seul d'où
c
=
3
c=3
c
=
3
2
ème
étape
: Calcul de
α
=
−
b
2
a
\alpha =\frac{-b}{2a}
α
=
2
a
−
b
Il vient alors que :
α
=
−
(
−
6
)
2
×
1
\alpha =\frac{-\left(-6\right)}{2\times1}
α
=
2
×
1
−
(
−
6
)
d'où :
α
=
3
\alpha =3
α
=
3
3
ème
étape
: Calcul de
β
=
f
(
α
)
\beta =f\left(\alpha \right)
β
=
f
(
α
)
Il vient alors que :
β
=
f
(
3
)
\beta =f\left(3 \right)
β
=
f
(
3
)
β
=
3
2
−
6
×
3
+
3
\beta =3^{2} -6\times 3+3
β
=
3
2
−
6
×
3
+
3
β
=
9
−
18
+
3
\beta =9-18+3
β
=
9
−
18
+
3
β
=
−
6
\beta =-6
β
=
−
6
Ainsi, pour tout réel
x
x
x
, la
forme canonique
est :
f
(
x
)
=
a
(
x
−
α
)
2
+
β
f\left(x\right)=a\left(x-\alpha \right)^{2} +\beta
f
(
x
)
=
a
(
x
−
α
)
2
+
β
ce qui nous donne :
f
(
x
)
=
1
(
x
−
3
)
2
−
6
f\left(x\right)=1\left(x-3 \right)^{2}-6
f
(
x
)
=
1
(
x
−
3
)
2
−
6
.
Autrement dit :
f
(
x
)
=
(
x
−
3
)
2
−
6
f\left(x\right)=\left(x-3 \right)^{2}-6
f
(
x
)
=
(
x
−
3
)
2
−
6
.
Question 2
Déterminer la forme canonique de la fonction
f
f
f
définie sur
R
\mathbb{R}
R
par
f
(
x
)
=
−
2
x
2
+
8
x
+
10
f\left(x\right)=-2x^{2}+8x+10
f
(
x
)
=
−
2
x
2
+
8
x
+
10
.
Correction
Toute fonction polynôme
f
f
f
de degré
2
2
2
définie sur
R
\mathbb{R}
R
par
f
(
x
)
=
a
x
2
+
b
x
+
c
f\left(x\right)=ax^{2}+bx+c
f
(
x
)
=
a
x
2
+
b
x
+
c
avec
a
≠
0
a\ne0
a
=
0
, peut s'écrire sous la forme :
f
(
x
)
=
a
(
x
−
α
)
2
+
β
f\left(x\right)=a\left(x-\alpha \right)^{2} +\beta
f
(
x
)
=
a
(
x
−
α
)
2
+
β
avec
α
=
−
b
2
a
\alpha =\frac{-b}{2a}
α
=
2
a
−
b
et
β
=
f
(
α
)
\beta =f\left(\alpha \right)
β
=
f
(
α
)
1
ère
étape
: On définit les valeurs
a
a
a
,
b
b
b
et
c
c
c
.
a
=
a=
a
=
nombre devant
x
2
x^{2}
x
2
d'où
a
=
−
2
a=-2
a
=
−
2
b
=
b=
b
=
nombre devant
x
x
x
d'où
b
=
8
b=8
b
=
8
c
=
c=
c
=
nombre seul d'où
c
=
10
c=10
c
=
10
2
ème
étape
: Calcul de
α
=
−
b
2
a
\alpha =\frac{-b}{2a}
α
=
2
a
−
b
Il vient alors que :
α
=
−
8
2
×
(
−
2
)
\alpha =\frac{-8}{2\times\left(-2\right)}
α
=
2
×
(
−
2
)
−
8
d'où :
α
=
2
\alpha =2
α
=
2
3
ème
étape
: Calcul de
β
=
f
(
α
)
\beta =f\left(\alpha \right)
β
=
f
(
α
)
Il vient alors que :
β
=
f
(
2
)
\beta =f\left(2 \right)
β
=
f
(
2
)
β
=
−
2
×
2
2
+
8
×
2
+
10
\beta =-2\times 2^{2} +8\times 2+10
β
=
−
2
×
2
2
+
8
×
2
+
10
β
=
−
2
×
4
+
16
+
10
\beta =-2\times 4+16+10
β
=
−
2
×
4
+
16
+
10
β
=
18
\beta =18
β
=
18
Ainsi, pour tout réel
x
x
x
, la
forme canonique
est :
f
(
x
)
=
a
(
x
−
α
)
2
+
β
f\left(x\right)=a\left(x-\alpha \right)^{2} +\beta
f
(
x
)
=
a
(
x
−
α
)
2
+
β
ce qui nous donne ici :
f
(
x
)
=
−
2
(
x
−
2
)
2
+
18
f\left(x\right)=-2\left(x-2 \right)^{2}+18
f
(
x
)
=
−
2
(
x
−
2
)
2
+
18
.
Question 3
Déterminer la forme canonique de la fonction
f
f
f
définie sur
R
\mathbb{R}
R
par
f
(
x
)
=
−
3
x
2
+
12
x
+
4
f\left(x\right)=-3x^{2} +12x+4
f
(
x
)
=
−
3
x
2
+
12
x
+
4
Correction
Toute fonction polynôme
f
f
f
de degré
2
2
2
définie sur
R
\mathbb{R}
R
par
f
(
x
)
=
a
x
2
+
b
x
+
c
f\left(x\right)=ax^{2}+bx+c
f
(
x
)
=
a
x
2
+
b
x
+
c
avec
a
≠
0
a\ne0
a
=
0
, peut s'écrire sous la forme :
f
(
x
)
=
a
(
x
−
α
)
2
+
β
f\left(x\right)=a\left(x-\alpha \right)^{2} +\beta
f
(
x
)
=
a
(
x
−
α
)
2
+
β
avec
α
=
−
b
2
a
\alpha =\frac{-b}{2a}
α
=
2
a
−
b
et
β
=
f
(
α
)
\beta =f\left(\alpha \right)
β
=
f
(
α
)
1
ère
étape
: On définit les valeurs
a
a
a
,
b
b
b
et
c
c
c
.
a
=
a=
a
=
nombre devant
x
2
x^{2}
x
2
d'où
a
=
−
3
a=-3
a
=
−
3
b
=
b=
b
=
nombre devant
x
x
x
d'où
b
=
12
b=12
b
=
12
c
=
c=
c
=
nombre seul d'où
c
=
4
c=4
c
=
4
2
ème
étape
: Calcul de
α
=
−
b
2
a
\alpha =\frac{-b}{2a}
α
=
2
a
−
b
Il vient alors que :
α
=
−
12
2
×
(
−
3
)
\alpha =\frac{-12}{2\times\left(-3\right)}
α
=
2
×
(
−
3
)
−
12
d'où :
α
=
2
\alpha =2
α
=
2
3
ème
étape
: Calcul de
β
=
f
(
α
)
\beta =f\left(\alpha \right)
β
=
f
(
α
)
Il vient alors que :
β
=
f
(
2
)
\beta =f\left(2 \right)
β
=
f
(
2
)
β
=
−
3
×
2
2
+
12
×
2
+
4
\beta =-3\times2^{2} +12\times2+4
β
=
−
3
×
2
2
+
12
×
2
+
4
β
=
−
3
×
4
+
24
+
4
\beta =-3\times 4+24+4
β
=
−
3
×
4
+
24
+
4
β
=
16
\beta =16
β
=
16
Ainsi, pour tout réel
x
x
x
, la
forme canonique
est :
f
(
x
)
=
a
(
x
−
α
)
2
+
β
f\left(x\right)=a\left(x-\alpha \right)^{2} +\beta
f
(
x
)
=
a
(
x
−
α
)
2
+
β
ce qui nous donne ici :
f
(
x
)
=
−
3
(
x
−
2
)
2
+
16
f\left(x\right)=-3\left(x-2 \right)^{2}+16
f
(
x
)
=
−
3
(
x
−
2
)
2
+
16
.
Question 4
Déterminer la forme canonique de la fonction
f
f
f
définie sur
R
\mathbb{R}
R
par
f
(
x
)
=
4
x
2
+
24
x
+
12
f\left(x\right)=4x^{2} +24x+12
f
(
x
)
=
4
x
2
+
24
x
+
12
Correction
Toute fonction polynôme
f
f
f
de degré
2
2
2
définie sur
R
\mathbb{R}
R
par
f
(
x
)
=
a
x
2
+
b
x
+
c
f\left(x\right)=ax^{2}+bx+c
f
(
x
)
=
a
x
2
+
b
x
+
c
avec
a
≠
0
a\ne0
a
=
0
, peut s'écrire sous la forme :
f
(
x
)
=
a
(
x
−
α
)
2
+
β
f\left(x\right)=a\left(x-\alpha \right)^{2} +\beta
f
(
x
)
=
a
(
x
−
α
)
2
+
β
avec
α
=
−
b
2
a
\alpha =\frac{-b}{2a}
α
=
2
a
−
b
et
β
=
f
(
α
)
\beta =f\left(\alpha \right)
β
=
f
(
α
)
1
ère
étape
: On définit les valeurs
a
a
a
,
b
b
b
et
c
c
c
.
a
=
a=
a
=
nombre devant
x
2
x^{2}
x
2
d'où
a
=
4
a=4
a
=
4
b
=
b=
b
=
nombre devant
x
x
x
d'où
b
=
24
b=24
b
=
24
c
=
c=
c
=
nombre seul d'où
c
=
12
c=12
c
=
12
2
ème
étape
: Calcul de
α
=
−
b
2
a
\alpha =\frac{-b}{2a}
α
=
2
a
−
b
Il vient alors que :
α
=
−
24
2
×
4
\alpha =\frac{-24}{2\times4}
α
=
2
×
4
−
24
d'où :
α
=
−
3
\alpha =-3
α
=
−
3
3
ème
étape
: Calcul de
β
=
f
(
α
)
\beta =f\left(\alpha \right)
β
=
f
(
α
)
Il vient alors que :
β
=
f
(
−
3
)
\beta =f\left(-3 \right)
β
=
f
(
−
3
)
β
=
4
×
(
−
3
)
2
+
24
×
(
−
3
)
+
12
\beta =4\times\left(-3\right)^{2} +24\times\left(-3\right)+12
β
=
4
×
(
−
3
)
2
+
24
×
(
−
3
)
+
12
β
=
4
×
9
−
72
+
12
\beta =4\times 9-72+12
β
=
4
×
9
−
72
+
12
β
=
−
24
\beta =-24
β
=
−
24
Ainsi, pour tout réel
x
x
x
, la
forme canonique
est :
f
(
x
)
=
a
(
x
−
α
)
2
+
β
f\left(x\right)=a\left(x-\alpha \right)^{2} +\beta
f
(
x
)
=
a
(
x
−
α
)
2
+
β
ce qui nous donne ici :
f
(
x
)
=
4
(
x
−
(
−
3
)
)
2
−
24
f\left(x\right)=4\left(x-\left(-3\right)\right)^{2}-24
f
(
x
)
=
4
(
x
−
(
−
3
)
)
2
−
24
f
(
x
)
=
4
(
x
+
3
)
2
−
24
f\left(x\right)=4\left(x+3 \right)^{2}-24
f
(
x
)
=
4
(
x
+
3
)
2
−
24
.
Question 5
Déterminer la forme canonique de la fonction
f
f
f
définie sur
R
\mathbb{R}
R
par
f
(
x
)
=
x
2
+
x
+
1
f\left(x\right)=x^{2} +x+1
f
(
x
)
=
x
2
+
x
+
1
Correction
Toute fonction polynôme
f
f
f
de degré
2
2
2
définie sur
R
\mathbb{R}
R
par
f
(
x
)
=
a
x
2
+
b
x
+
c
f\left(x\right)=ax^{2}+bx+c
f
(
x
)
=
a
x
2
+
b
x
+
c
avec
a
≠
0
a\ne0
a
=
0
, peut s'écrire sous la forme :
f
(
x
)
=
a
(
x
−
α
)
2
+
β
f\left(x\right)=a\left(x-\alpha \right)^{2} +\beta
f
(
x
)
=
a
(
x
−
α
)
2
+
β
avec
α
=
−
b
2
a
\alpha =\frac{-b}{2a}
α
=
2
a
−
b
et
β
=
f
(
α
)
\beta =f\left(\alpha \right)
β
=
f
(
α
)
1
ère
étape
: On définit les valeurs
a
a
a
,
b
b
b
et
c
c
c
.
a
=
a=
a
=
nombre devant
x
2
x^{2}
x
2
d'où
a
=
1
a=1
a
=
1
b
=
b=
b
=
nombre devant
x
x
x
d'où
b
=
1
b=1
b
=
1
c
=
c=
c
=
nombre seul d'où
c
=
1
c=1
c
=
1
2
ème
étape
: Calcul de
α
=
−
b
2
a
\alpha =\frac{-b}{2a}
α
=
2
a
−
b
Il vient alors que :
α
=
−
1
2
×
1
\alpha =\frac{-1}{2\times1}
α
=
2
×
1
−
1
d'où :
α
=
−
1
2
\alpha =-\frac{1}{2}
α
=
−
2
1
3
ème
étape
: Calcul de
β
=
f
(
α
)
\beta =f\left(\alpha \right)
β
=
f
(
α
)
Il vient alors que :
β
=
f
(
−
1
2
)
\beta =f\left(-\frac{1}{2} \right)
β
=
f
(
−
2
1
)
β
=
(
−
1
2
)
2
−
1
2
+
1
\beta =\left(-\frac{1}{2}\right)^{2} -\frac{1}{2}+1
β
=
(
−
2
1
)
2
−
2
1
+
1
β
=
1
4
−
1
2
+
1
\beta =\frac{1}{4} -\frac{1}{2}+1
β
=
4
1
−
2
1
+
1
β
=
3
4
\beta =\frac{3}{4}
β
=
4
3
Ainsi, pour tout réel
x
x
x
, la
forme canonique
est :
f
(
x
)
=
a
(
x
−
α
)
2
+
β
f\left(x\right)=a\left(x-\alpha \right)^{2} +\beta
f
(
x
)
=
a
(
x
−
α
)
2
+
β
ce qui nous donne ici :
f
(
x
)
=
(
x
−
(
−
1
2
)
)
2
+
3
4
f\left(x\right)=\left(x-\left(-\frac{1}{2}\right)\right)^{2}+\frac{3}{4}
f
(
x
)
=
(
x
−
(
−
2
1
)
)
2
+
4
3
f
(
x
)
=
(
x
+
1
2
)
2
+
3
4
f\left(x\right)=\left(x+\frac{1}{2} \right)^{2}+\frac{3}{4}
f
(
x
)
=
(
x
+
2
1
)
2
+
4
3
.
Question 6
Déterminer la forme canonique de la fonction
f
f
f
définie sur
R
\mathbb{R}
R
par
f
(
x
)
=
2
x
2
+
5
x
+
3
f\left(x\right)=2x^{2} +5x+3
f
(
x
)
=
2
x
2
+
5
x
+
3
Correction
Toute fonction polynôme
f
f
f
de degré
2
2
2
définie sur
R
\mathbb{R}
R
par
f
(
x
)
=
a
x
2
+
b
x
+
c
f\left(x\right)=ax^{2}+bx+c
f
(
x
)
=
a
x
2
+
b
x
+
c
avec
a
≠
0
a\ne0
a
=
0
, peut s'écrire sous la forme :
f
(
x
)
=
a
(
x
−
α
)
2
+
β
f\left(x\right)=a\left(x-\alpha \right)^{2} +\beta
f
(
x
)
=
a
(
x
−
α
)
2
+
β
avec
α
=
−
b
2
a
\alpha =\frac{-b}{2a}
α
=
2
a
−
b
et
β
=
f
(
α
)
\beta =f\left(\alpha \right)
β
=
f
(
α
)
1
ère
étape
: On définit les valeurs
a
a
a
,
b
b
b
et
c
c
c
.
a
=
a=
a
=
nombre devant
x
2
x^{2}
x
2
d'où
a
=
2
a=2
a
=
2
b
=
b=
b
=
nombre devant
x
x
x
d'où
b
=
5
b=5
b
=
5
c
=
c=
c
=
nombre seul d'où
c
=
3
c=3
c
=
3
2
ème
étape
: Calcul de
α
=
−
b
2
a
\alpha =\frac{-b}{2a}
α
=
2
a
−
b
Il vient alors que :
α
=
−
5
2
×
2
\alpha =\frac{-5}{2\times2}
α
=
2
×
2
−
5
d'où :
α
=
−
5
4
\alpha =-\frac{5}{4}
α
=
−
4
5
3
ème
étape
: Calcul de
β
=
f
(
α
)
\beta =f\left(\alpha \right)
β
=
f
(
α
)
Il vient alors que :
β
=
f
(
−
5
4
)
\beta =f\left(-\frac{5}{4} \right)
β
=
f
(
−
4
5
)
β
=
2
×
(
−
5
4
)
2
+
5
×
(
−
5
4
)
+
3
\beta = 2\times\left(-\frac{5}{4}\right)^{2} +5\times\left(-\frac{5}{4}\right)+3
β
=
2
×
(
−
4
5
)
2
+
5
×
(
−
4
5
)
+
3
β
=
2
×
25
16
−
25
4
+
3
\beta =2\times\frac{25}{16} -\frac{25}{4}+3
β
=
2
×
16
25
−
4
25
+
3
β
=
50
16
−
25
4
+
3
\beta =\frac{50}{16} -\frac{25}{4}+3
β
=
16
50
−
4
25
+
3
β
=
50
16
−
25
×
4
4
×
4
+
3
×
16
1
×
16
\beta =\frac{50}{16} -\frac{25\times4}{4\times4}+\frac{3\times16}{1\times16}
β
=
16
50
−
4
×
4
25
×
4
+
1
×
16
3
×
16
β
=
50
16
−
100
16
+
48
16
\beta =\frac{50}{16} -\frac{100}{16}+\frac{48}{16}
β
=
16
50
−
16
100
+
16
48
β
=
−
2
16
\beta =-\frac{2}{16}
β
=
−
16
2
β
=
−
1
8
\beta =-\frac{1}{8}
β
=
−
8
1
Ainsi, pour tout réel
x
x
x
, la
forme canonique
est :
f
(
x
)
=
a
(
x
−
α
)
2
+
β
f\left(x\right)=a\left(x-\alpha \right)^{2} +\beta
f
(
x
)
=
a
(
x
−
α
)
2
+
β
ce qui nous donne ici :
f
(
x
)
=
2
(
x
−
(
−
5
4
)
)
2
−
1
8
f\left(x\right)=2\left(x-\left(-\frac{5}{4}\right)\right)^{2}-\frac{1}{8}
f
(
x
)
=
2
(
x
−
(
−
4
5
)
)
2
−
8
1
f
(
x
)
=
2
(
x
+
5
4
)
2
−
1
8
f\left(x\right)=2\left(x+\frac{5}{4} \right)^{2}-\frac{1}{8}
f
(
x
)
=
2
(
x
+
4
5
)
2
−
8
1
.