Fonction polynôme du second degré : $f\left(x\right)=ax^{2} +bx+c$

Exercices types : 1ère partie - Exercice 1

15 min
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Question 1
Une entreprise produit des téléphones portables. Le coût de production de xx téléphones portables est donné en euros par : C(x)=x2+40x+100C\left(x\right)=x^{2}+40x+100, pour 5≤x≤505\le x \le 50.

L'entreprise vend chaque appareil 100100 euros. Quelle est la recette pour xx téléphones portables. On notera R(x)R\left(x\right) la recette pour xx téléphones portables.

Correction
Nous allons faire plusieurs simulations. On sait que l'on vend chaque téléphone 100100 euros.
  • Pour la vente, par exemple de 55 téléphones, la recette sera : 100×5=500100\times5=500
  • Pour la vente, par exemple de 99 téléphones, la recette sera : 100×9=900100\times9=900
  • Pour la vente, par exemple de 1717 téléphones, la recette sera : 100×17=1700100\times17=1700
  • Finalement, pour la vente de xx téléphones, la recette sera : 100×x=100x100\times x=100x
    • Soit :
    R(x)=100xR\left(x\right)=100x
    Question 2
    Le bénéfice est égal à la différence entre la recette et le coût de fabrication.

    Montrer que le bénéfice B(x)B\left(x\right) réalisé par la fabrication et la vente de xx téléphones portables est défini par : B(x)=−x2+60x−100B\left(x\right)=-x^{2}+60x-100

    Correction
    On nous indique que le bénéfice est égal à la différence entre le prix de vente et le coût de fabrication.
    Il en résulte donc que :
    B(x)=R(x)−C(x)B\left(x\right)=R\left(x\right)-C\left(x\right) équivaut successivement à :
    B(x)=100x−(x2+40x+100)B\left(x\right)=100x-\left(x^{2}+40x+100\right) . Nous allons changer les signes de la parenthèse à la prochaine étape ci-dessous.
    B(x)=100x−x2−40x−100B\left(x\right)=100x-x^{2}-40x-100
    B(x)=−x2+60x−100B\left(x\right)=-x^{2}+60x-100

    Question 3

    Calculer le bénéfice réalisé par la fabrication et la vente de 1010 téléphones, puis de 4040 téléphones.

    Correction
  • Pour déterminer le bénéfice réalisé pour la fabrication et la vente de 1010 téléphones , il nous faut calculer B(10)B\left(10\right) .
    • Ainsi : B(10)=−(10)2+60×10−100B\left(10\right) = -\left(10\right)^{2}+60\times 10-100 d'où
    B(10)=400B\left(10\right)=400
    .
    Le bénéfice réalisé pour la fabrication et la vente de 1010 téléphones est alors de 400400 euros.
  • Pour déterminer le bénéfice réalisé pour la fabrication et la vente de 4040 téléphones , il nous faut calculer B(40)B\left(40\right) .
    • Ainsi : B(40)=−(40)2+60×40−100B\left(40\right) = -\left(40\right)^{2}+60\times 40-100 d'où
    B(40)=700B\left(40\right)=700
    .
    Le bénéfice réalisé pour la fabrication et la vente de 4040 téléphones est alors de 700700 euros.
    Question 4

    Quel est le nombre de téléphones portables à vendre pour que le bénéfice de l'entreprise soit maximal?

    Correction
    Pour déterminer le bénéfice maximal, nous allons commencer par donner la forme canonique de : B(x)=−x2+60x−100B\left(x\right)=-x^{2}+60x-100

    Toute fonction polynôme ff de degré 22 définie sur R\mathbb{R} par f(x)=ax2+bx+cf\left(x\right)=ax^{2}+bx+c avec a≠0a\ne0, peut s'écrire sous la forme :
    • f(x)=a(x−α)2+βf\left(x\right)=a\left(x-\alpha \right)^{2} +\beta avec α=−b2a\alpha =\frac{-b}{2a} et β=f(α)\beta =f\left(\alpha \right)
    1ère étape : On définit les valeurs aa, bb et cc.
    • a=a= nombre devant x2x^{2} d'où a=−1a=-1
    • b=b= nombre devant xx d'où b=60b=60
    • c=c= nombre seul d'où c=−100c=-100
    2ème étape : Calcul de α=−b2a\alpha =\frac{-b}{2a}
    Il vient alors que : α=−602×(−1)\alpha =\frac{-60}{2\times\left(-1\right)} d'où :
    α=30\alpha =30

    3ème étape : Calcul de β=B(α)\beta =B\left(\alpha \right)
    Il vient alors que :
    β=B(30)\beta =B\left(30 \right)
    β=−(30)2+60×30−100\beta =-\left(30\right)^{2}+60\times30-100
    β=−900+1800−100\beta =-900+1800-100
    β=800\beta =800

    Ainsi, pour tout réel xx, la forme canonique est : f(x)=a(x−α)2+βf\left(x\right)=a\left(x-\alpha \right)^{2} +\beta ce qui nous donne : B(x)=−1(x−30)2+800B\left(x\right)=-1\left(x-30 \right)^{2}+800.
    Autrement dit :
    B(x)=−(x−30)2+800B\left(x\right)=-\left(x-30\right)^{2}+800
    .
    Maintenant, que nous avons la forme canonique de la fonction BB, nous allons pouvoir dresser le tableau de variation de BB.
    • Soit la forme canonique f(x)=a(x−α)2+βf\left(x\right)=a\left(x-\alpha \right)^{2} +\beta avec α=−b2a\alpha =\frac{-b}{2a} et β=f(α)\beta =f\left(\alpha \right) . Si a<0a<0, la parabole est tournée vers le bas et le tableau de variation est comme suit :
    Comme a=−1<0a=-1<0, la parabole est tournée vers le bas. Il en résulte donc que :
    Le bénéfice de l'entreprise est maximal pour la production et la vente de 3030 téléphones portables et le bénéfice s'élèvera à 800800 euros.