Calcul numérique : les puissances, le calcul fractionnaire et les racines carrées
Savoir effectuer des calculs numériques utilisant des racines carrées Exercice 1 Soit a a a a 2 = a \sqrt{a^{2} } =a a 2 = a A = 16 A=\sqrt{16} A = 1 6 équivaut successivement à :
A = 4 2 A=\sqrt{4^{2} } A = 4 2 Soit a a a a 2 = a \sqrt{a^{2} } =a a 2 = a B = 25 B=\sqrt{25} B = 2 5 équivaut successivement à :
B = 5 2 B=\sqrt{5^{2} } B = 5 2 Soit a a a a 2 = a \sqrt{a^{2} } =a a 2 = a C = 2 36 C=2\sqrt{36} C = 2 3 6 équivaut successivement à :
C = 2 6 2 C=2\sqrt{6^{2} } C = 2 6 2 C = 2 × 6 C=2\times 6 C = 2 × 6 Soit a a a a 2 = a \sqrt{a^{2} } =a a 2 = a D = 3 49 D=3\sqrt{49} D = 3 4 9 équivaut successivement à :
D = 3 7 2 D=3\sqrt{7^{2} } D = 3 7 2 D = 3 × 7 D=3\times 7 D = 3 × 7 Exercice 2 1
A = 3 5 + 6 5 A=3\sqrt{5} +6\sqrt{5} A = 3 5 + 6 5 A = 3 5 + 6 5 A=3{\color{blue}\sqrt{5}} +6{\color{blue}\sqrt{5}} A = 3 5 + 6 5 . Nous allons factoriser par
5 {\color{blue}\sqrt{5}} 5 .
A = ( 3 + 6 ) × 5 A=\left(3+6\right)\times {\color{blue}\sqrt{5}} A = ( 3 + 6 ) × 5 2
B = 2 7 − 5 7 + 9 7 B=2\sqrt{7} -5\sqrt{7}+9\sqrt{7} B = 2 7 − 5 7 + 9 7 B = 2 7 − 5 7 + 9 7 B=2{\color{blue}\sqrt{7}} -5{\color{blue}\sqrt{7}}+9{\color{blue}\sqrt{7}} B = 2 7 − 5 7 + 9 7 . Nous allons factoriser par
7 {\color{blue}\sqrt{7}} 7 .
B = ( 2 − 5 + 9 ) × 7 B=\left(2-5+9\right)\times {\color{blue}\sqrt{7}} B = ( 2 − 5 + 9 ) × 7 3
C = 3 ( 3 + 1 3 ) C=\sqrt{3} \left(\sqrt{3} +\frac{1}{\sqrt{3} } \right) C = 3 ( 3 + 3 1 ) C = 3 ( 3 + 1 3 ) C=\sqrt{3} \left(\sqrt{3} +\frac{1}{\sqrt{3} } \right) C = 3 ( 3 + 3 1 ) équivaut successivement à :
C = 3 × 3 + 3 × 1 3 C=\sqrt{3} \times \sqrt{3} +\sqrt{3} \times \frac{1}{\sqrt{3} } C = 3 × 3 + 3 × 3 1 C = ( 3 ) 2 + 3 3 C=\left(\sqrt{3} \right)^{2} +\frac{\sqrt{3} }{\sqrt{3} } C = ( 3 ) 2 + 3 3 Soit a a a ( a ) 2 = a \left(\sqrt{a} \right)^{2} =a ( a ) 2 = a C = 3 + 1 C=3+1 C = 3 + 1 Exercice 3 Pour tous réels positifs a a a b b b a × b = a × b \sqrt{a\times b } =\sqrt{a } \times \sqrt{ b } a × b = a × b a 2 = a \sqrt{a^{2} } =a a 2 = a A = 63 A=\sqrt{63} A = 6 3 équivaut successivement à :
A = 9 × 7 A=\sqrt{9\times 7} A = 9 × 7 A = 9 × 7 A=\sqrt{9} \times \sqrt{7} A = 9 × 7 A = 3 2 × 7 A=\sqrt{3^{2} } \times \sqrt{7} A = 3 2 × 7 2
B = 2 300 B=2\sqrt{300} B = 2 3 0 0 Pour tous réels positifs a a a b b b a × b = a × b \sqrt{a\times b } =\sqrt{a } \times \sqrt{ b } a × b = a × b a 2 = a \sqrt{a^{2} } =a a 2 = a B = 2 300 B=2\sqrt{300} B = 2 3 0 0 équivaut successivement à :
B = 2 100 × 3 B=2\sqrt{100\times 3} B = 2 1 0 0 × 3 B = 2 100 × 3 B=2\sqrt{100} \times \sqrt{3} B = 2 1 0 0 × 3 B = 2 1 0 2 × 3 B=2\sqrt{10^{2} } \times \sqrt{3} B = 2 1 0 2 × 3 B = 2 × 10 × 3 B=2\times 10\times \sqrt{3} B = 2 × 1 0 × 3 3
C = 12 − 5 3 + 2 48 C=\sqrt{12} -5\sqrt{3} +2\sqrt{48} C = 1 2 − 5 3 + 2 4 8 Pour tous réels positifs a a a b b b a × b = a × b \sqrt{a\times b } =\sqrt{a } \times \sqrt{ b } a × b = a × b a 2 = a \sqrt{a^{2} } =a a 2 = a C = 12 − 5 3 + 2 48 C=\sqrt{12} -5\sqrt{3} +2\sqrt{48} C = 1 2 − 5 3 + 2 4 8 équivaut successivement à :
C = 4 × 3 − 5 3 + 2 16 × 3 C=\sqrt{4\times 3} -5\sqrt{3} +2\sqrt{16\times 3} C = 4 × 3 − 5 3 + 2 1 6 × 3 C = 4 × 3 − 5 3 + 2 16 × 3 C=\sqrt{4} \times \sqrt{3} -5\sqrt{3} +2\sqrt{16} \times \sqrt{3} C = 4 × 3 − 5 3 + 2 1 6 × 3 C = 2 2 × 3 − 5 3 + 2 4 2 × 3 C=\sqrt{2^{2} } \times \sqrt{3} -5\sqrt{3} +2\sqrt{4^{2} } \times \sqrt{3} C = 2 2 × 3 − 5 3 + 2 4 2 × 3 C = 2 3 − 5 3 + 2 × 4 × 3 C=2\sqrt{3} -5\sqrt{3} +2\times 4\times \sqrt{3} C = 2 3 − 5 3 + 2 × 4 × 3 C = 2 3 − 5 3 + 8 3 C=2{\color{blue}\sqrt{3}} -5{\color{blue}\sqrt{3}} +8{\color{blue}\sqrt{3}} C = 2 3 − 5 3 + 8 3 . Nous allons factoriser par
3 {\color{blue}\sqrt{3}} 3 .
C = ( 2 − 5 + 8 ) 3 C=\left(2-5+8\right){\color{blue}\sqrt{3}} C = ( 2 − 5 + 8 ) 3 4
D = 2 72 − 9 2 D=2\sqrt{72} -9\sqrt{2} D = 2 7 2 − 9 2 Pour tous réels positifs a a a b b b a × b = a × b \sqrt{a\times b } =\sqrt{a } \times \sqrt{ b } a × b = a × b a 2 = a \sqrt{a^{2} } =a a 2 = a D = 2 72 − 9 2 D=2\sqrt{72} -9\sqrt{2} D = 2 7 2 − 9 2 équivaut successivement à :
D = 2 36 × 2 − 9 2 D=2\sqrt{36\times 2} -9\sqrt{2} D = 2 3 6 × 2 − 9 2 D = 2 36 × 2 − 9 2 D=2\sqrt{36} \times \sqrt{2} -9\sqrt{2} D = 2 3 6 × 2 − 9 2 D = 2 × 6 2 × 2 − 9 2 D=2\times \sqrt{6^{2} } \times \sqrt{2} -9\sqrt{2} D = 2 × 6 2 × 2 − 9 2 D = 2 × 6 × 2 − 9 2 D=2\times 6\times \sqrt{2} -9\sqrt{2} D = 2 × 6 × 2 − 9 2 D = 12 2 − 9 2 D=12{\color{blue}\sqrt{2}} -9{\color{blue}\sqrt{2}} D = 1 2 2 − 9 2 . Nous allons factoriser par
2 {\color{blue}\sqrt{2}} 2 .
D = ( 12 − 9 ) 2 D=\left(12-9\right){\color{blue}\sqrt{2}} D = ( 1 2 − 9 ) 2 5
E = 4 63 − 2 175 + 8 112 − 3 28 E=4\sqrt{63} -2\sqrt{175} +8\sqrt{112} -3\sqrt{28} E = 4 6 3 − 2 1 7 5 + 8 1 1 2 − 3 2 8 Pour tous réels positifs a a a b b b a × b = a × b \sqrt{a\times b } =\sqrt{a } \times \sqrt{ b } a × b = a × b a 2 = a \sqrt{a^{2} } =a a 2 = a E = 4 63 − 2 175 + 8 112 − 3 28 E=4\sqrt{63} -2\sqrt{175} +8\sqrt{112} -3\sqrt{28} E = 4 6 3 − 2 1 7 5 + 8 1 1 2 − 3 2 8 équivaut successivement à :
E = 4 9 × 7 − 2 25 × 7 + 8 16 × 7 − 3 4 × 7 E=4\sqrt{9\times 7} -2\sqrt{25\times 7} +8\sqrt{16\times 7} -3\sqrt{4\times 7} E = 4 9 × 7 − 2 2 5 × 7 + 8 1 6 × 7 − 3 4 × 7 E = 4 9 × 7 − 2 25 × 7 + 8 16 × 7 − 3 4 × 7 E=4\sqrt{9} \times \sqrt{7} -2\sqrt{25} \times \sqrt{7} +8\sqrt{16} \times \sqrt{7} -3\sqrt{4} \times \sqrt{7} E = 4 9 × 7 − 2 2 5 × 7 + 8 1 6 × 7 − 3 4 × 7 E = 4 3 2 × 7 − 2 5 2 × 7 + 8 4 2 × 7 − 3 2 2 × 7 E=4\sqrt{3^{2} } \times \sqrt{7} -2\sqrt{5^{2} } \times \sqrt{7} +8\sqrt{4^{2} } \times \sqrt{7} -3\sqrt{2^{2} } \times \sqrt{7} E = 4 3 2 × 7 − 2 5 2 × 7 + 8 4 2 × 7 − 3 2 2 × 7 E = 4 × 3 × 7 − 2 × 5 × 7 + 8 × 4 × 7 − 3 × 2 × 7 E=4\times 3\times \sqrt{7} -2\times 5\times \sqrt{7} +8\times 4\times \sqrt{7} -3\times 2\times \sqrt{7} E = 4 × 3 × 7 − 2 × 5 × 7 + 8 × 4 × 7 − 3 × 2 × 7 E = 12 7 − 10 7 + 32 7 − 6 7 E=12{\color{blue}\sqrt{7}} -10{\color{blue}\sqrt{7}} +32{\color{blue}\sqrt{7}} -6{\color{blue}\sqrt{7}} E = 1 2 7 − 1 0 7 + 3 2 7 − 6 7 . Nous allons factoriser par
7 {\color{blue}\sqrt{7}} 7 .
E = ( 12 − 10 + 32 − 6 ) 7 E=\left(12-10+32-6\right){\color{blue}\sqrt{7}} E = ( 1 2 − 1 0 + 3 2 − 6 ) 7 6
F = 9 24 − 3 150 + 11 96 F=9\sqrt{24} -3\sqrt{150} +11\sqrt{96} F = 9 2 4 − 3 1 5 0 + 1 1 9 6 Pour tous réels positifs a a a b b b a × b = a × b \sqrt{a\times b } =\sqrt{a } \times \sqrt{ b } a × b = a × b a 2 = a \sqrt{a^{2} } =a a 2 = a F = 9 24 − 3 150 + 11 96 F=9\sqrt{24} -3\sqrt{150} +11\sqrt{96} F = 9 2 4 − 3 1 5 0 + 1 1 9 6 équivaut successivement à :
F = 9 4 × 6 − 3 25 × 6 + 11 16 × 6 F=9\sqrt{4\times 6} -3\sqrt{25\times 6} +11\sqrt{16\times 6} F = 9 4 × 6 − 3 2 5 × 6 + 1 1 1 6 × 6 F = 9 4 × 6 − 3 25 × 6 + 11 16 × 6 F=9\sqrt{4} \times \sqrt{6} -3\sqrt{25} \times \sqrt{6} +11\sqrt{16} \times \sqrt{6} F = 9 4 × 6 − 3 2 5 × 6 + 1 1 1 6 × 6 F = 9 2 2 × 6 − 3 5 2 × 6 + 11 4 2 × 6 F=9\sqrt{2^{2} } \times \sqrt{6} -3\sqrt{5^{2} } \times \sqrt{6} +11\sqrt{4^{2} } \times \sqrt{6} F = 9 2 2 × 6 − 3 5 2 × 6 + 1 1 4 2 × 6 F = 9 × 2 × 6 − 3 × 5 × 6 + 11 × 4 × 6 F=9\times 2\times \sqrt{6} -3\times 5\times \sqrt{6} +11\times 4\times \sqrt{6} F = 9 × 2 × 6 − 3 × 5 × 6 + 1 1 × 4 × 6 F = 18 6 − 15 6 + 44 6 F=18{\color{blue}\sqrt{6}} -15{\color{blue}\sqrt{6}} +44{\color{blue}\sqrt{6}} F = 1 8 6 − 1 5 6 + 4 4 6 . Nous allons factoriser par
6 {\color{blue}\sqrt{6}} 6 .
F = ( 18 − 15 + 44 ) 6 F=\left(18-15+44\right){\color{blue}\sqrt{6}} F = ( 1 8 − 1 5 + 4 4 ) 6 7
G = 20 32 − 30 8 − 2 200 G=20\sqrt{32} -30\sqrt{8} -2\sqrt{200} G = 2 0 3 2 − 3 0 8 − 2 2 0 0 G = 20 32 − 30 8 − 2 200 G=20\sqrt{32} -30\sqrt{8} -2\sqrt{200} G = 2 0 3 2 − 3 0 8 − 2 2 0 0 équivaut successivement à :
G = 20 16 × 2 − 30 4 × 2 − 2 100 × 2 G=20\sqrt{16\times 2} -30\sqrt{4\times 2} -2\sqrt{100\times 2} G = 2 0 1 6 × 2 − 3 0 4 × 2 − 2 1 0 0 × 2 G = 20 16 × 2 − 30 4 × 2 − 2 100 × 2 G=20\sqrt{16} \times \sqrt{2} -30\sqrt{4} \times \sqrt{2} -2\sqrt{100} \times \sqrt{2} G = 2 0 1 6 × 2 − 3 0 4 × 2 − 2 1 0 0 × 2 G = 20 4 2 × 2 − 30 2 2 × 2 − 2 1 0 2 × 2 G=20\sqrt{4^{2} } \times \sqrt{2} -30\sqrt{2^{2} } \times \sqrt{2} -2\sqrt{10^{2} } \times \sqrt{2} G = 2 0 4 2 × 2 − 3 0 2 2 × 2 − 2 1 0 2 × 2 G = 20 × 4 × 2 − 30 × 3 × 2 − 2 × 10 × 2 G=20\times 4\times \sqrt{2} -30\times 3\times \sqrt{2} -2\times 10\times \sqrt{2} G = 2 0 × 4 × 2 − 3 0 × 3 × 2 − 2 × 1 0 × 2 G = 80 × 2 − 60 × 2 − 20 × 2 G=80\times {\color{blue}\sqrt{2}} -60\times {\color{blue}\sqrt{2}} -20\times {\color{blue}\sqrt{2}} G = 8 0 × 2 − 6 0 × 2 − 2 0 × 2 . Nous allons factoriser par
2 {\color{blue}\sqrt{2}} 2 .
G = ( 80 − 60 − 20 ) 2 G=\left(80-60-20\right){\color{blue}\sqrt{2}} G = ( 8 0 − 6 0 − 2 0 ) 2 Exercice 4 1
A = 4 18 − 5 8 + 2 50 A=4\sqrt{18} -5\sqrt{8} +2\sqrt{50} A = 4 1 8 − 5 8 + 2 5 0 Pour tous réels positifs a a a b b b a × b = a × b \sqrt{a\times b } =\sqrt{a } \times \sqrt{ b } a × b = a × b a 2 = a \sqrt{a^{2} } =a a 2 = a A = 4 18 − 5 8 + 2 50 A=4\sqrt{18} -5\sqrt{8} +2\sqrt{50} A = 4 1 8 − 5 8 + 2 5 0 équivaut successivement à :
A = 4 9 × 2 − 5 4 × 2 + 2 25 × 2 A=4\sqrt{9\times 2} -5\sqrt{4\times 2} +2\sqrt{25\times 2} A = 4 9 × 2 − 5 4 × 2 + 2 2 5 × 2 A = 4 9 × 2 − 5 4 × 2 + 2 25 × 2 A=4\sqrt{9} \times \sqrt{2} -5\sqrt{4} \times \sqrt{2} +2\sqrt{25} \times \sqrt{2} A = 4 9 × 2 − 5 4 × 2 + 2 2 5 × 2 A = 4 3 2 × 2 − 5 2 2 × 2 + 2 5 2 × 2 A=4\sqrt{3^{2} } \times \sqrt{2} -5\sqrt{2^{2} } \times \sqrt{2} +2\sqrt{5^{2} } \times \sqrt{2} A = 4 3 2 × 2 − 5 2 2 × 2 + 2 5 2 × 2 A = 4 × 3 × 2 − 5 × 2 × 2 + 2 × 5 × 2 A=4\times 3\times \sqrt{2} -5\times 2\times \sqrt{2} +2\times 5\times \sqrt{2} A = 4 × 3 × 2 − 5 × 2 × 2 + 2 × 5 × 2 A = 12 2 − 10 2 + 10 2 A=12{\color{blue}\sqrt{2}} -10{\color{blue}\sqrt{2}} +10{\color{blue}\sqrt{2}} A = 1 2 2 − 1 0 2 + 1 0 2 . Nous allons factoriser par
2 {\color{blue}\sqrt{2}} 2 .
A = ( 12 − 10 + 10 ) 2 A=\left(12-10+10\right)\sqrt{2} A = ( 1 2 − 1 0 + 1 0 ) 2 2
B = − 3 27 + 2 48 − 9 75 B=-3\sqrt{27} +2\sqrt{48} -9\sqrt{75} B = − 3 2 7 + 2 4 8 − 9 7 5 Pour tous réels positifs a a a b b b a × b = a × b \sqrt{a\times b } =\sqrt{a } \times \sqrt{ b } a × b = a × b a 2 = a \sqrt{a^{2} } =a a 2 = a B = − 3 27 + 2 48 − 9 75 B=-3\sqrt{27} +2\sqrt{48} -9\sqrt{75} B = − 3 2 7 + 2 4 8 − 9 7 5 équivaut successivement à :
B = − 3 9 × 3 + 2 16 × 3 − 9 25 × 3 B=-3\sqrt{9\times 3} +2\sqrt{16\times 3} -9\sqrt{25\times 3} B = − 3 9 × 3 + 2 1 6 × 3 − 9 2 5 × 3 B = − 3 9 × 3 + 2 16 × 3 − 9 25 × 3 B=-3\sqrt{9} \times \sqrt{3} +2\sqrt{16} \times \sqrt{3} -9\sqrt{25} \times \sqrt{3} B = − 3 9 × 3 + 2 1 6 × 3 − 9 2 5 × 3 B = − 3 3 2 × 3 + 2 4 2 × 3 − 9 5 2 × 3 B=-3\sqrt{3^{2} } \times \sqrt{3} +2\sqrt{4^{2} } \times \sqrt{3} -9\sqrt{5^{2} } \times \sqrt{3} B = − 3 3 2 × 3 + 2 4 2 × 3 − 9 5 2 × 3 B = − 3 × 3 × 3 + 2 × 4 × 3 − 9 × 5 × 3 B=-3\times 3\times \sqrt{3} +2\times 4\times \sqrt{3} -9\times 5\times \sqrt{3} B = − 3 × 3 × 3 + 2 × 4 × 3 − 9 × 5 × 3 B = − 9 3 + 8 3 − 45 3 B=-9{\color{blue}\sqrt{3}} +8{\color{blue}\sqrt{3}} -45{\color{blue}\sqrt{3}} B = − 9 3 + 8 3 − 4 5 3 . Nous allons factoriser par
3 {\color{blue}\sqrt{3}} 3 .
B = ( − 9 + 8 − 45 ) 3 B=\left(-9+8-45\right)\sqrt{3} B = ( − 9 + 8 − 4 5 ) 3 B = − 46 3 B=-46\sqrt{3} B = − 4 6 3 3
C = 8 20 + 2 125 + 245 C=8\sqrt{20} +2\sqrt{125} +\sqrt{245} C = 8 2 0 + 2 1 2 5 + 2 4 5 Pour tous réels positifs a a a b b b a × b = a × b \sqrt{a\times b } =\sqrt{a } \times \sqrt{ b } a × b = a × b a 2 = a \sqrt{a^{2} } =a a 2 = a C = 8 20 + 2 125 + 245 C=8\sqrt{20} +2\sqrt{125} +\sqrt{245} C = 8 2 0 + 2 1 2 5 + 2 4 5 équivaut successivement à :
C = 8 4 × 5 + 2 25 × 5 + 49 × 5 C=8\sqrt{4\times 5} +2\sqrt{25\times 5} +\sqrt{49\times 5} C = 8 4 × 5 + 2 2 5 × 5 + 4 9 × 5 C = 8 4 × 5 + 2 25 × 5 + 49 × 5 C=8\sqrt{4} \times \sqrt{5} +2\sqrt{25} \times \sqrt{5} +\sqrt{49} \times \sqrt{5} C = 8 4 × 5 + 2 2 5 × 5 + 4 9 × 5 C = 8 2 2 × 5 + 2 5 2 × 5 + 7 2 × 5 C=8\sqrt{2^{2} } \times \sqrt{5} +2\sqrt{5^{2} } \times \sqrt{5} +\sqrt{7^{2} } \times \sqrt{5} C = 8 2 2 × 5 + 2 5 2 × 5 + 7 2 × 5 C = 8 × 2 × 5 + 2 × 5 × 5 + 7 × 5 C=8\times 2\times \sqrt{5} +2\times 5\times \sqrt{5} +7\times \sqrt{5} C = 8 × 2 × 5 + 2 × 5 × 5 + 7 × 5 C = 16 5 + 10 5 + 7 5 C=16{\color{blue}\sqrt{5}} +10{\color{blue}\sqrt{5}} +7{\color{blue}\sqrt{5}} C = 1 6 5 + 1 0 5 + 7 5 . Nous allons factoriser par
5 {\color{blue}\sqrt{5}} 5 .
C = ( 16 + 10 + 7 ) 5 C=\left(16+10+7\right)\sqrt{5} C = ( 1 6 + 1 0 + 7 ) 5