Automatismes : proportions, pourcentages et taux d'évolution

Exercices types DS - Exercice 1

15 min
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Question 1
Un téléphone nouvelle génération IThone 11 valait 800 euros le 1er septembre.
Il coûte 920 euros le 1er novembre et au 1er février il augmente de 5%.

Quel est le pourcentage d'évolution du prix de ce téléphone entre le 1er septembre et le 1er novembre ?

Correction
Soit V0V_{0} la valeur initiale d’une grandeur et V1V_{1} sa valeur finale suite à une évolution.
  • Le taux d’évolution de cette grandeur est égal à V1V0V0\frac{V_{1} -V_{0} }{V_{0} }
  • En pourcentage, le taux d’évolution se note t%t\% avec t=V1V0V0×100t=\frac{V_{1} -V_{0} }{V_{0} }\times100
  • Si t>0t > 0, il s’agit d’une augmentation.
  • Si t<0t < 0, il s’agit d’une diminution.

La valeur initiale V0V_{0} vaut ici 800800.
La valeur finale V1V_{1} vaut ici 920920.
Il vient alors que :
t=V1V0V0×100t=\frac{V_{1} -V_{0} }{V_{0} }\times100 équivaut successivement à :
t=920800800×100t=\frac{920-800 }{800 }\times100
t=15%t=15\%

Le prix du téléphone a donc augmenté de 15% entre le 1er septembre et le 1er novembre.
Question 2

Quel est le pourcentage d'évolution du prix de ce téléphone entre le 1er septembre et le 1er février?

Correction
D'après la question 1, nous savons que le prix du téléphone a augmenté de 15% entre le 1er septembre et le 1er novembre.
De plus, entre le 1er novembre et le 1er février, le téléphone a augmenté de 5%.
Si une grandeur subit des évolutions successives (augmentation ou diminution), le coefficient multiplicateur global (correspondant au taux global d’évolution) est le produit des coefficients multiplicateurs de chaque évolution.

Soit tt le taux global d'évolution recherché.
  • Le coefficient multiplicateur associée à une augmentation de 15% est : 1+15100=1,151+\frac{15}{100}=1,15
  • Le coefficient multiplicateur associée à une augmentation de 5% est : 1+5100=1,051+\frac{5}{100}=1,05

Il en résulte donc que :
1+t100=1,15×1,051+\frac{t}{100} =1,15\times 1,05
1+t100=1,20751+\frac{t}{100} =1,2075
t100=1,20751\frac{t}{100} =1,2075-1
t100=0,2075\frac{t}{100} =0,2075
t=0,2075×100t=0,2075\times 100
t=20,75%t=20,75\%

Le taux d’évolution global est de t=t= 20,75% , c'est-à-dire qu'une augmentation de 15% suivi d'une deuxième de 5% correspond à une augmentation globale de 20,75%.
Question 3

Quel pourcentage de diminution faut-il appliquer au prix du 1er février pour retrouver le prix du 1er septembre ?
Donner un arrondi à 10310^{-3} près.

Correction
D'après la question 2, nous savons que le téléphone a augmenté de 20,75% entre le 1er septembre et le 1er février.
Nous cherchons donc ici le taux d'évolution réciproque afin de revenir au prix initial du 1er septembre.

Soient V0V_{0} la valeur initiale d’une grandeur, V1V_{1} la valeur de cette grandeur après une évolution relative de tt%.
Soit tt'% l'évolution réciproque d'une évolution tt%
Pour déterminer la valeur du taux réciproque tt'%, il nous faut résoudre l'équation :
1+t100=11+t1001+\frac{t'}{100} =\frac{1}{1+\frac{t}{100} }

Soit tt'% l'évolution réciproque d'une augmentation de 20,75%.
Le coefficient multiplicateur associée à une augmentation de 20,7520,75% est : 1+20,751001+\frac{20,75}{100}
Pour trouver la valeur de tt'%, il nous faut donc résoudre l'équation : 1+t100=11+t1001+\frac{t'}{100} =\frac{1}{1+\frac{t}{100} }.
Ainsi :
1+t100=11+20,751001+\frac{t'}{100} =\frac{1}{1+\frac{20,75}{100} }
1+t100=11+0,20751+\frac{t'}{100} =\frac{1}{1+0,2075}
1+t100=11,20751+\frac{t'}{100} =\frac{1}{1,2075 }
1+t1000,8281+\frac{t'}{100} \approx0,828
t100=0,8281\frac{t'}{100} =0,828-1
t100=0,172\frac{t'}{100} =-0,172
t=0,172×100t' =-0,172\times100
t=17,2t' = -17,2 %

Si un prix augmente de 20,75% alors son taux réciproque pour revenir au prix initial est une baisse de 17,2 %.