Savoir étudier un ensemble de points $$\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} =k$$ - Exercice 1

Soit $$I$$ le milieu du segment $$\left[AB\right]$$ .
Ainsi :
$$\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} =17$$ équivaut successivement à :
$$MI^{2} -\frac{AB^{2} }{4} =17$$
$$MI^{2} -\frac{8^{2} }{4} =17$$
$$MI^{2} -\frac{64 }{4} =17$$
$$MI^{2} -16 =17$$
$$MI^{2} =17+8$$
$$MI^{2} =33$$

L'ensemble des points $$M$$ vérifiant $$\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} =17$$ est le cercle $$\mathscr{C}$$ de centre $$I$$ et de rayon $$\sqrt{33}$$ .

Soit $$I$$ le milieu du segment $$\left[AB\right]$$ .
Ainsi :
$$\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} =2$$ équivaut successivement à :
$$MI^{2} -\frac{AB^{2} }{4} =2$$
$$MI^{2} -\frac{8^{2} }{4} =2$$
$$MI^{2} -\frac{64 }{4} =2$$
$$MI^{2} -16 =2$$
$$MI^{2} =2+16$$
$$MI^{2} =18$$

L'ensemble des points $$M$$ vérifiant $$\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} =2$$ est le cercle $$\mathscr{C}$$ de centre $$I$$ et de rayon $$3\sqrt{2}$$ .

Soit $$I$$ le milieu du segment $$\left[AB\right]$$ .
Ainsi :
$$\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} =-16$$ équivaut successivement à :
$$MI^{2} -\frac{AB^{2} }{4} =-16$$
$$MI^{2} -\frac{8^{2} }{4} =-16$$
$$MI^{2} -\frac{64 }{4} =-16$$
$$MI^{2} -16 =-16$$
$$MI^{2} =-16+16$$
$$MI^{2} =0$$

L'ensemble des points $$M$$ vérifiant $$\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} =-16$$ est réduit au point $$I$$ .