La bonne réponse est b. Le point A(1;5) appartient à une équation cartésienne si les coordonnées de A vérifient l'équation. Il faut donc remplacer les coordonnées de A dans les équations proposées et une seule sera vérifiée. Nous remarquons que : 2xA+3yA=2×1+3×5 2xA+3yA=17 Il en résulte que le point A(1;5) appartient à l'équation cartésienne 2x+3y=17.
2
Un vecteur directeur de la droite (d) d'équation 3x−2y+1=0 est :
u(−23)
u(2−3)
u(−1−1,5)
u(32)
Correction
La bonne réponse est c.
L'écriture cartésienne d'une droite est de la forme ax+by+c=0 où le vecteur u(−ba) est un vecteur directeur de cette droite.
On note u un vecteur directeur de la droite (d). Ainsi : u(23). Ce vecteur n'est pas proposé dans la liste de solution. Il nous faut donc trouver un vecteur colinéaire à u(23). On vérifie facilement que le vecteur u(−1−1,5) est colinéaire au vecteur u(23).
Soit (0;i;j) un repère du plan.
Deux vecteurs u(x;y) et v(x′;y′) sont colinéaires si et seulement si : x×y′−x′×y=0 autrement dit : xy′−x′y=0.
On peut également écrire les vecteurs u et v sous la forme u(xy) et u(x′y′).
On a : −1×3−(−1,5)×2=−3+3=0 Il en résulte qu'un vecteur directeur de la droite (d) d'équation 3x−2y+1=0 est u(−1−1,5)
3
On considère les points A(2;3) et B(5;−1) dans un repère du plan. La droite (AB) est parallèle à la droite d'équation :
−8x−6y+1=0
−4x+3y+1=0
4x−3y+1=0
−6x−8y+1=0
Correction
La bonne réponse est a. Dans un premier temps, nous allons calculer un vecteur directeur de la droite (AB) qui est tout simplement le vecteur AB. Ainsi : AB(5−2−1−3) ainsi AB(3−4)
Deux droites (d1) et (d2) sont parallèles si leurs vecteurs directeurs respectifs sont colinéaires entre eux.
Or la droite −8x−6y+1=0 admet comme vecteur directeur u(6−8). Le vecteur u(6−8) est colinéaire au vecteur AB(3−4). En effet : u=2AB
4
On considère les droites (d1) et (d2) d'équation cartésienne respective 2x+3y−8=0 et −5x−7,5y+20=0. Les droites (d1) et (d2) sont :
sécantes
parallèles
confondues
Correction
La bonne réponse est c.
Deux droites (d1) et (d2) sont parallèles si leurs vecteurs directeurs respectifs sont colinéaires entre eux. Ainsi : Soit u1(xy) un vecteur de la droite (d1). Soit u2(x′y′) un vecteur de la droite (d2). Les droites (d1) et (d2) sont parallèles si et seulement si :
xy′−x′y=0
Soit u1(−32) un vecteur de la droite (d1). Soit u2(7,5−5) un vecteur de la droite (d2). Les vecteurs u1 et u2 sont colinéaires car : (−3)×(−5)−7,5×2=0. Les droites (d1) et (d2) sont donc parallèles. Mais sont-elles confondues?
Deux droites (d1) et (d2) d'équations respectives ax+bx+c=0 et dx+ey+f=0sont confondues si et seulement si :
da=eb=fc
On considère les droites (d1) et (d2) d'équation cartésienne respective 2x+3y−8=0 et −5x−7,5y+20=0. Nous vérifions que :
−52=−7,53=20−8=−0,4
Les droites (d1) et (d2)sont confondues.
5
Une droite (d) passe par l'origine du repère. Une équation possible est :
x=1
y−1=0
2x−13−3y=0
5x+41y=0
Correction
La bonne réponse est d. Les droites passant par l'origine du repère sont :
Les fonctions linéaires de la forme f(x)=ax
La droite d'équation x=0
La droite d'équation y=0
On remarque que : 5x+41y=0⇔41y=−5x⇔y=−5x×4⇔y=−20x L'équation y=−20x est bien une fonction linéaire qui passe donc bien par l'origine du repère.
6
On considère les droites (d1) et (d2) d'équation cartésienne respective 2x+3y−8=0 et −5x+8y−11=0. Le point d'intersection des droites (d1) et (d2) est :
(2;1)
(−2;−1)
(1;2)
(−1;−2)
Correction
La bonne réponse est c. Nous pouvons tester chacune des solutions dans chacune des droites. On ne retiendra donc que la solution qui vérifiera l'équation cartésienne de (d1) et l'équation cartésienne de (d2). Nous allons ensemble montrer que le point (1;2) appartient à la fois à la droite (d1) et (d2).
2×1+3×2−8=0 donc le point (1;2) appartient à la droite (d1) d'équation : 2x+3y−8=0
−5×1+8×2−11=0 donc le point (1;2) appartient à la droite (d2) d'équation : −5x+8y−11=0
Il s'agit donc du point d'intersection entre les droites (d1) et (d2).
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