QCM

La bonne réponse est b.
Le point $A\left(1;5\right)$ appartient à une équation cartésienne si les coordonnées de $A$ vérifient l'équation. Il faut donc remplacer les coordonnées de $A$ dans les équations proposées et une seule sera vérifiée.
Nous remarquons que :
$2x_{A} +3y_{A} =2\times 1+3\times 5$
$2x_{A} +3y_{A} =17$
Il en résulte que le point $A\left(1;5\right)$ appartient à l'équation cartésienne $2x+3y=17$.

La bonne réponse est c.On note $\overrightarrow{u}$ un vecteur directeur de la droite $\left(d\right)$.
Ainsi : $\overrightarrow{u} \left(\begin{array}{c} {2} \\ {3} \end{array}\right)$. Ce vecteur n'est pas proposé dans la liste de solution. Il nous faut donc trouver un vecteur colinéaire à $\overrightarrow{u} \left(\begin{array}{c} {2} \\ {3} \end{array}\right)$.
On vérifie facilement que le vecteur $\overrightarrow{u} \left(\begin{array}{c} {-1} \\ {-1,5} \end{array}\right)$ est colinéaire au vecteur $\overrightarrow{u} \left(\begin{array}{c} {2} \\ {3} \end{array}\right)$.
On a : $-1\times 3-\left(-1,5\right)\times 2=-3+3=0$
Il en résulte qu'un vecteur directeur de la droite $\left(d\right)$ d'équation $3x-2y+1=0$ est $\overrightarrow{u} \left(\begin{array}{c} {-1} \\ {-1,5} \end{array}\right)$

La bonne réponse est a.
Dans un premier temps, nous allons calculer un vecteur directeur de la droite $\left(AB\right)$ qui est tout simplement le vecteur $\overrightarrow{AB}$.
Ainsi : $\overrightarrow{AB} \left(\begin{array}{c} {5-2} \\ {-1-3} \end{array}\right)$ ainsi $\overrightarrow{AB} \left(\begin{array}{c} {3} \\ {-4} \end{array}\right)$
Or la droite $-8x-6y+1=0$ admet comme vecteur directeur $\overrightarrow{u} \left(\begin{array}{c} {6} \\ {-8} \end{array}\right)$. Le vecteur $\overrightarrow{u} \left(\begin{array}{c} {6} \\ {-8} \end{array}\right)$ est colinéaire au vecteur $\overrightarrow{AB} \left(\begin{array}{c} {3} \\ {-4} \end{array}\right)$. En effet : $\overrightarrow{u}=2\overrightarrow{AB}$

La bonne réponse est c.Soit $\overrightarrow{u_{1} } \left(\begin{array}{c} {-3} \\ {2} \end{array}\right)$ un vecteur de la droite $\left(d_{1} \right)$.
Soit $\overrightarrow{u_{2} } \left(\begin{array}{c} {7,5} \\ {-5} \end{array}\right)$ un vecteur de la droite $\left(d_{2} \right)$.
Les vecteurs $\overrightarrow{u_{1} }$ et $\overrightarrow{u_{2} }$ sont colinéaires car : $\left(-3\right)\times \left(-5\right)-7,5\times 2=0$.
Les droites $\left(d_{1} \right)$ et $\left(d_{2} \right)$ sont donc parallèles. Mais sont-elles confondues?
On considère les droites $\left(d_{1} \right)$ et $\left(d_{2} \right)$ d'équation cartésienne respective $2x+3y-8=0$ et $-5x-7,5y+20=0$. Nous vérifions que :
Les droites $\left(d_{1} \right)$ et $\left(d_{2} \right)$ sont confondues.

La bonne réponse est d.
Les droites passant par l'origine du repère sont :

Les fonctions linéaires de la forme $f\left(x\right)=ax$

La droite d'équation $x=0$

La droite d'équation $y=0$

On remarque que :
$5x+ \frac{1}{4}y=0\Leftrightarrow \frac{1}{4}y=-5x\Leftrightarrow y=-5x\times4\Leftrightarrow y=-20x$
L'équation $y=-20x$ est bien une fonction linéaire qui passe donc bien par l'origine du repère.

La bonne réponse est c.
Nous pouvons tester chacune des solutions dans chacune des droites. On ne retiendra donc que la solution qui vérifiera l'équation cartésienne de $\left(d_{1} \right)$ et l'équation cartésienne de $\left(d_{2} \right)$.
Nous allons ensemble montrer que le point $\left(1;2 \right)$ appartient à la fois à la droite $\left(d_{1} \right)$ et $\left(d_{2} \right)$.

$2\times 1+3\times 2-8=0$ donc le point $\left(1;2 \right)$ appartient à la droite $\left(d_{1} \right)$ d'équation : $2x+3y-8=0$

$-5\times 1+8\times 2-11=0$ donc le point $\left(1;2 \right)$ appartient à la droite $\left(d_{2} \right)$ d'équation : $-5x+8y-11=0$

Il s'agit donc du point d'intersection entre les droites $\left(d_{1} \right)$ et $\left(d_{2} \right)$.