Variations des fonctions associées

Variation des fonctions de référence - Exercice 1

1 min
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Déterminer le tableau de variation des fonctions suivantes sur l'intervalle II considéré.
Question 1

f(x)=2(x−4)2+6f\left(x\right)=2\left(x-4\right)^{2} +6 ; I=RI= \mathbb{R}

Correction
Si f(x)=a(x−xS)2+ySf\left(x\right)=a\left(x-x_{S} \right)^{2} +y_{S} alors il s'agit d'une parabole dont le sommet est S(xS;yS)S\left(x_{S} ;y_{S} \right).
  • Si a>0a>0 la fonction est décroissante sur ]−∞;xS]\left]-\infty ;x_{S} \right]et croissante sur [xS;+∞[\left[x_{S} ;+\infty \right[
  • Si a<0a<0 la fonction est croissante sur ]−∞;xS]\left]-\infty ;x_{S} \right]et décroissante sur [xS;+∞[\left[x_{S} ;+\infty \right[

Nous avons ici : a=2a=2; xS=4x_{S} =4 et yS=6y_{S} =6.
Comme a=2>0a=2>0 la fonction est décroissante sur ]−∞;4]\left]-\infty ;4\right] et croissante sur [4;+∞[\left[4;+\infty \right[.
On en déduit le tableau de variation suivant :
Question 2

f(x)=−(x+2)2−1f\left(x\right)=-\left(x+2\right)^{2} -1 ; I=RI= \mathbb{R}

Correction
Si f(x)=a(x−xS)2+ySf\left(x\right)=a\left(x-x_{S} \right)^{2} +y_{S} alors il s'agit d'une parabole dont le sommet est S(xS;yS)S\left(x_{S} ;y_{S} \right).
  • Si a>0a>0 la fonction est décroissante sur ]−∞;xS]\left]-\infty ;x_{S} \right] et croissante sur [xS;+∞[\left[x_{S} ;+\infty \right[
  • Si a<0a<0 la fonction est croissante sur ]−∞;xS]\left]-\infty ;x_{S} \right]et décroissante sur [xS;+∞[\left[x_{S} ;+\infty \right[
Nous avons ici : a=−1a=-1; xS=−2x_{S} =-2 et yS=−1y_{S} =-1.
Comme a=−1<0a=-1<0 la fonction est croissante sur ]−∞;−2]\left]-\infty ;-2\right] et décroissante sur [−2;+∞[\left[-2;+\infty \right[.
On en déduit le tableau de variation suivant :
Question 3

f(x)=1x−4f\left(x\right)=\frac{1}{x-4} ; I=]4;+∞[I= \left]4;+\infty \right[

Correction
On décompose la fonction ff en 1u\frac{1}{u} avec u(x)=x+4u\left(x\right)=x+4.
uu est une fonction affine croissante car le coefficient directeur a=1>0a=1>0.
De plus, la fonction uu est de signe constant sur l'intervalle ]4;+∞[\left]4;+\infty \right[ comme le montre le tableau de signe ci-dessous :

Comme les fonctions uu et 1u\frac{1}{u} ont des sens de variations contraires, alors la fonction 1u\frac{1}{u} c'est à dire 1x−4\frac{1}{x-4} est décroissante sur l'intervalle ]4;+∞[\left]4;+\infty \right[.
On résume cela dans le tableau de variation ci-dessous :

Question 4

f(x)=1−2x−6f\left(x\right)=\frac{1}{-2x-6} ; I=]−3;+∞[I= \left]-3;+\infty \right[

Correction
On décompose la fonction ff en 1u\frac{1}{u} avec u(x)=−2x−6u\left(x\right)=-2x-6.
uu est une fonction affine décroissante car le coefficient directeur a=−2<0a=-2<0.
De plus, la fonction uu est de signe constant sur l'intervalle ]−3;+∞[\left]-3;+\infty \right[ comme le montre le tableau de signe ci-dessous :
Comme les fonctions uu et 1u\frac{1}{u} ont des sens de variations contraires, alors la fonction 1u\frac{1}{u} c'est à dire 1−2x−6\frac{1}{-2x-6} est croissante sur l'intervalle ]−3;+∞[\left]-3;+\infty \right[.
On résume cela dans le tableau de variation ci-dessous :


Question 5

f(x)=∣2x−10∣f\left(x\right)=\left|2x-10\right| ; I=RI= \mathbb{R}

Correction
  • Si x≥0x\ge0 alors ∣x∣=x\left|x\right|=x.
  • Si x≤0x\le0 alors ∣x∣=−x\left|x\right|=-x.
On décompose la fonction ff en ∣u∣\left|u\right| avec u(x)=2x−10u\left(x\right)=2x-10.
On commence par étudier le signe uu. Il s'agit d'une fonction affine.
2x−10≥02x-10\ge0 équivaut à x≥5x\ge5. On a donc :
si x>5x>5 alors 2x−10>02x-10>0 . Il en résulte que : ∣2x−10∣=2x−10\left|2x-10\right|=2x-10 . La fonction affine x↦2x−10x\mapsto 2x-10 est croissante car le coefficient directeur est positif.
si x<5x<5 alors 2x−10<02x-10<0 . Il en résulte que : ∣2x−10∣=−(2x−10)=−2x+10\left|2x-10\right|=-\left(2x-10\right)=-2x+10 . La fonction affine x↦−2x+10x\mapsto -2x+10 est croissante car le coefficient directeur est négatif.
Finalement :
Question 6

f(x)=∣−x−1∣f\left(x\right)=\left|-x-1\right| ; I=RI= \mathbb{R}

Correction
  • Si x≥0x\ge0 alors ∣x∣=x\left|x\right|=x.
  • Si x≤0x\le0 alors ∣x∣=−x\left|x\right|=-x.
On décompose la fonction ff en ∣u∣\left|u\right| avec u(x)=−x−1u\left(x\right)=-x-1.
On commence par étudier le signe uu. Il s'agit d'une fonction affine.
−x−1≥0-x-1\ge0 équivaut à x≤−1x\le -1. On a donc :
si x<−1x<-1 alors −x−1>0-x-1>0 . Il en résulte que : ∣−x−1∣=−x−1\left|-x-1\right|=-x-1 . La fonction affine x↦−x−1x\mapsto -x-1 est décroissante car le coefficient directeur est négatif.
si x>−1x>-1 alors −x−1<0-x-1<0 . Il en résulte que : ∣−x−1∣=−(−x−1)=x+1\left|-x-1\right|=-\left(-x-1\right)=x+1 . La fonction affine x↦x+1x\mapsto x+1 est croissante car le coefficient directeur est positif.
Finalement :
Question 7

g(x)=2x+10g\left(x\right)=\sqrt{2x+10} ; I=[−5;+∞[I= \left[-5;+\infty\right[

Correction
Pour les variations, on décompose la fonction gg en u\sqrt{u} avec u(x)=2x+10u\left(x\right)=2x+10.
La fonction uu est une fonction affine de coefficient directeur a=2>0a=2>0. La fonction uu est donc croissante sur [−5;+∞[\left[-5;+\infty\right[.
    Racine carré
  • Soit une fonction ff positive sur II , alors les fonctions ff et f\sqrt{f} ont les mêmes variations.
Comme les fonctions uu et u\sqrt{u} ont les mêmes variations, la fonction gg est croissante sur ]−∞;−3]\left]-\infty;-3\right].
Question 8

h(x)=−x−2h\left(x\right)=\sqrt{-x-2} ; I=]−∞;−2[I= \left]-\infty;-2\right[

Correction
Pour les variations, on décompose la fonction hh en u\sqrt{u} avec u(x)=−x−2u\left(x\right)=-x-2.
La fonction uu est une fonction affine de coefficient directeur a=−1<0a=-1<0. La fonction uu est donc décroissante sur ]−∞;−2[\left]-\infty;-2\right[.
    Racine carré
  • Soit une fonction ff positive sur II , alors les fonctions ff et f\sqrt{f} ont les mêmes variations.
Comme les fonctions uu et u\sqrt{u} ont les mêmes variations, la fonction hh est décroissante sur ]−∞;−2[\left]-\infty;-2\right[.
Question 9

f(x)=18x+2f\left(x\right)=\frac{1}{8x+2} ; I=]−14;+∞[I= \left]-\frac{1}{4};+\infty \right[

Correction
On décompose la fonction ff en 1u\frac{1}{u} avec u(x)=8x+2u\left(x\right)=8x+2.
uu est une fonction affine croissante car le coefficient directeur a=8>0a=8>0.
De plus, la fonction uu est de signe constant sur l'intervalle ]−14;+∞[\left]-\frac{1}{4};+\infty \right[ comme le montre le tableau de signe ci-dessous :
Comme les fonctions uu et 1u\frac{1}{u} ont des sens de variations contraires, alors la fonction 1u\frac{1}{u} c'est à dire 18x+2\frac{1}{8x+2} est décroissante sur l'intervalle ]−14;+∞[\left]-\frac{1}{4};+\infty \right[.
On résume cela dans le tableau de variation ci-dessous :