Ensemble de définition - Exercice 1

$$f$$ est définie pour toutes les valeurs réelles sauf celles qui annulent le dénominateur de $$f$$.
La valeur interdite est celle qui annule le dénominateur $$3-2x$$.
Ainsi :
$$3-2x=0$$ équivaut successivement à :
$$-2x=-3$$
$$x=\frac{-3}{-2}$$
$$x=\frac{3}{2}$$. Il en résulte donc que $$x=\frac{3}{2}$$ est la valeur interdite.
Le domaine de définition est : .

$$f$$ est définie pour toutes les valeurs réelles sauf celles qui annulent le dénominateur de $$f$$.
Les valeurs interdites sont celles qui annulent le dénominateur $$x^{2} -3x+2$$.
Résolvons $$x^{2} -3x+2=0$$.
On reconnait une équation du second degré.
On va utiliser le discriminant.
Ainsi : $$\Delta =\left(-3\right)^{2} -4\times 1\times 2$$
$$\Delta =9-8=1$$
Comme $$\Delta >0$$ alors la fonction l'équation admet deux racines réelles distinctes notées $$x{}_{1}$$ et $$x{}_{2}$$ telles que :

• $$x{}_{1} =\frac{-b-\sqrt{\Delta } }{2a}$$ ainsi $$x{}_{1} =\frac{3-\sqrt{1} }{2\times 1}$$ d'où $$x{}_{1} =1$$
• $$x{}_{2} =\frac{-b+\sqrt{\Delta } }{2a}$$ ainsi $$x{}_{2} =\frac{3+\sqrt{1} }{2\times 1}$$ d'où $$x{}_{2} =2$$

Il en résulte donc que $$x=1$$ et $$x=2$$ sont les valeurs interdites.
Le domaine de définition est : .

La fonction $$f$$ est définie pour toutes les valeurs réelles qui rendent le radical positif ou nul.
Le radical correspond à l'expression qui est sous la racine carrée.
Dans notre cas, il faut que $$2-6x\ge 0$$.
Ainsi :
$$2-6x\ge 0$$ équivaut successivement à :
$$-6x\ge -2$$
$$x\le \frac{-2}{-6}$$
$$x\le \frac{1}{3}$$
Le domaine de définition est : .

La fonction $$f$$est définie pour toutes les valeurs réelles qui rendent le radical positif ou nul.
Le radical correspond à l'expression qui est sous la racine carrée.
Dans notre cas, il faut que $$x^{2} -5x+4\ge 0$$.
Ainsi : $$\Delta =\left(-5\right)^{2} -4\times 1\times 4$$
$$\Delta =25-16=9$$
Comme $$\Delta >0$$ alors la fonction l'équation admet deux racines réelles distinctes notées $$x{}_{1}$$ et $$x{}_{2}$$ telles que :
$$x{}_{1} =\frac{-b-\sqrt{\Delta } }{2a}$$ ainsi $$x{}_{1} =\frac{5-\sqrt{9} }{2\times 1}$$ d'où $$x{}_{1} =1$$
$$x{}_{2} =\frac{-b+\sqrt{\Delta } }{2a}$$ ainsi $$x{}_{2} =\frac{5+\sqrt{9} }{2\times 1}$$ d'où $$x{}_{2} =4$$
Comme $$\Delta >0$$ et que nous connaissons les racines $$x{}_{1}$$ et $$x{}_{2}$$, le tableau du trinôme du second degré est dans cette situation.
En effet, tout va dépendre du signe de $$a$$.
Si $$a=1>0$$, la parabole est tournée vers le haut c'est-à-dire que $$f$$ est du signe de $$a$$ à l'extérieur des racines et du signe opposé à $$a$$ entre les racines.
Il en résulte donc que :

Ainsi les solutions de l'inéquation $$x^{2} -5x+4\ge 0$$ sont : $$S=\left]-\infty ;1\right]\cup \left[4;+\infty \right[$$.
Le domaine de définition est : .

Nous avons une racine carrée et de plus la racine carrée est au dénominateur. Il faut donc que : $$-4x+12\ge0$$ et $$-4x+12\ne0$$. Autrement dit, $$f$$ est définie si, et seulement si, $$-4x+12>0$$
Ainsi : $$-4x+12>0\Leftrightarrow -4x>-12\Leftrightarrow x<\frac{-12}{-4}\Leftrightarrow x<3$$
L'ensemble de définition de la fonction $$f$$ est : .

La fonction $$x\mapsto x-1$$ est une fonction affine. Elle est donc définie sur $$\left]-\infty;+\infty\right[$$.
La fonction $$x\mapsto \sqrt{x+2}$$ est une fonction racine carrée.
La fonction $$f$$ est définie pour toutes les valeurs réelles qui rendent le radical positif ou nul.
Le radical correspond à l'expression qui est sous la racine carrée.
Dans notre cas, il faut que $$x+2\ge 0$$.
Ainsi :
$$x+2\ge 0$$ équivaut successivement à :
$$x\ge -2$$
Le domaine de définition est : .