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Sujet inédit 6 - Exercice 1

1 min
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Equations
Question 1

3ln⁡(x2)−9ln⁡(x)−8=−83\ln \left(x^{2} \right)-9\ln \left(x\right)-8=-8 admet 22 solutions réelles.

Correction
La proposition est FAUSSE.
Dans un premier temps, l'équation n'est définie que pour les xx strictement positif.
3ln⁡(x2)−9ln⁡(x)−8=−83\ln \left(x^{2} \right)-9\ln \left(x\right)-8=-8 équivaut successivement à :
3ln⁡(x2)−9ln⁡(x)=03\ln \left(x^{2} \right)-9\ln \left(x\right)=0
3×2ln⁡(x)−9ln⁡(x)=03\times 2\ln \left(x\right)-9\ln \left(x\right)=0
6ln⁡(x)−9ln⁡(x)=06\ln \left(x\right)-9\ln \left(x\right)=0
−3ln⁡(x)=0-3\ln \left(x\right)=0
ln⁡(x)=0\ln \left(x\right)=0
ln⁡(x)=ln⁡(1)\ln \left(x\right)=\ln \left(1\right)
Ainsi :
x=1x=1
Question 2

e1x>−e−13e^{\frac{1}{x} } >-e^{-\frac{1}{3} } admet comme solution : S=]−∞;0[∪]0;+∞[S=\left]-\infty ;0\right[\cup \left]0;+\infty \right[

Correction
La proposition est VRAIE.
x↦e1xx\mapsto e^{\frac{1}{x} } est définie pour tout x∈]−∞;0[∪]0;+∞[x\in\left]-\infty ;0\right[\cup \left]0;+\infty \right[
or −e−13<0-e^{-\frac{1}{3} }<0 et comme e1x>0e^{\frac{1}{x} }>0 alors e1x>−e−13e^{\frac{1}{x} } >-e^{-\frac{1}{3} } est vrai pour tout x∈]−∞;0[∪]0;+∞[x\in\left]-\infty ;0\right[\cup \left]0;+\infty \right[
Donc :
S=]−∞;0[∪]0;+∞[S=\left]-\infty ;0\right[\cup \left]0;+\infty \right[
Question 3

3(ln⁡(x))2−9ln⁡(x)−8=−83\left(\ln \left(x\right)\right)^{2} -9\ln \left(x\right)-8=-8 admet dans 22 solutions réelles.

Correction
La proposition est VRAIE.
Dans un premier temps, l'équation n'est définie que pour les xx strictement positif.
3(ln⁡(x))2−9ln⁡(x)−8=−83\left(\ln \left(x\right)\right)^{2} -9\ln \left(x\right)-8=-8 équivaut successivement à :
3(ln⁡(x))2−9ln⁡(x)=03\left(\ln \left(x\right)\right)^{2} -9\ln \left(x\right)=0
3ln⁡(x)×ln⁡(x)−9ln⁡(x)=03\ln \left(x\right)\times \ln \left(x\right)-9\ln \left(x\right)=0
ln⁡(x)×(3ln⁡(x)−9)=0\ln \left(x\right)\times \left(3\ln \left(x\right)-9\right)=0
Il s'agit d'une équation produit nul. Ainsi :
ln⁡(x)=0\ln \left(x\right)=0 ou 3ln⁡(x)−9=03\ln \left(x\right)-9=0
D'une part : ln⁡(x)=0⇔x=1\ln \left(x\right)=0\Leftrightarrow x=1
D'autre part :
3ln⁡(x)−9=03\ln \left(x\right)-9=0 équivaut successivement à :
3ln⁡(x)=93\ln \left(x\right)=9
ln⁡(x)=3\ln \left(x\right)=3
x=e3x=e^{3}
Finalement :
S={1;e3}S=\left\{1;e^{3} \right\}
Question 4

La somme des solutions complexes imaginaires pures de l’équation Z4−Z2−12=0Z^{4} -Z^{2} -12=0 est égal à 11.

Correction
La proposition est FAUSSE.
Pour cette équation que l'on appelle équation bicarrée, on va utiliser un changement de variable.
On pose z=Z2z=Z^{2} .
Il vient alors que Z4−Z2−12=0Z^{4} -Z^{2} -12=0 s'écrit alors (Z2)2−Z2−12=0\left(Z^{2} \right)^{2} -Z^{2} -12=0
Il en résulte que {z2−z−12=0z=Z2\left\{\begin{array}{c} {z^{2} -z-12=0} \\ {z=Z^{2} } \end{array}\right.
On utilise le discriminant
Δ=49\Delta =49

Il existe donc deux racines réelles distinctes notées z1z_{1} et z2z_{2} tels que z1=−b−Δ2az_{1} =\frac{-b-\sqrt{\Delta } }{2a} et z2=−b+Δ2az_{2} =\frac{-b+\sqrt{\Delta } }{2a}
z1=−3z_{1} =-3 et z2=4z_{2} =4.
Or nous avons posé z=Z2z=Z^{2} , il en résulte que
Z2=−3Z^{2} =-3 ou encore Z2=4Z^{2} =4
Résolvons d'une part : Z2=4Z^{2} =4.
Il vient alors que
Z=2Z=2
ou
Z=−2Z=-2

Résolvons d'autre part Z2=−3Z^{2} =-3. On écrit alors Z2+3=0Z^{2} +3=0
Δ=−12\Delta =-12, il existe donc deux racines complexes conjuguées notées Z1Z_{1} et Z2Z_{2} tels que Z1=−b−i−Δ2aZ_{1} =\frac{-b-i\sqrt{-\Delta } }{2a} et Z2=−b+i−Δ2aZ_{2} =\frac{-b+i\sqrt{-\Delta } }{2a}
Ainsi :
Z1=−3iZ_{1} =-\sqrt{3} i
et
Z2=−3iZ_{2} =-\sqrt{3} i

Finalement les solutions de l'équation Z4−Z2−12=0Z^{4} -Z^{2} -12=0 sont : S={−3i;3i;−2;2}S=\left\{-\sqrt{3} i;\sqrt{3} i;-2;2\right\}
Les solutions complexes de Z4−Z2−12=0Z^{4} -Z^{2} -12=0 sont −3i-\sqrt{3} i et 3i\sqrt{3} i.
La somme des solutions imaginaires pures de l’équation Z4−Z2−12=0Z^{4} -Z^{2} -12=0 est égal à zéro.
Question 5

Le produit des solutions complexes imaginaires pures de l’équation Z4−Z2−12=0Z^{4} -Z^{2} -12=0 est égal à 33.

Correction
La proposition est VRAIE.
D'après la question 44, les solutions imaginaires pures de l'équation Z4−Z2−12=0Z^{4} -Z^{2} -12=0 sont : S={−3i;3i}S=\left\{-\sqrt{3} i;\sqrt{3} i\right\}
(−3i)×3i=3\left(-\sqrt{3} i\right)\times \sqrt{3} i=3

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