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Concours Puissance Alpha 3 - Exercice 9

1 min
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Autour de la fonction exponentielle
Question 1
On considère la fonction ff définie sur R\mathbb{R} par : f(x)=e2x−2ex+5x+4f\left(x\right)=e^{2x} -2e^{x} +5x+4. On définit f′f' la dérivée de ff et f′′f'' la dérivée de f′f'.

f′(x)=2e2x−2ex+5f'\left(x\right)=2e^{2x} -2e^{x} +5 et f′′(x)=2ex(2ex−1)f''\left(x\right)=2e^{x} \left(2e^{x} -1\right)

Correction
La proposition est VRAIE.
  • (eu)′=u′eu\left(e^{u} \right)^{'} =u'e^{u}
    • ff est dérivable sur R\mathbb{R}. Il vient alors que :
    f′(x)=2e2x−2ex+5f'\left(x\right)=2e^{2x} -2e^{x} +5

    f′f' est dérivable sur R\mathbb{R}. Il vient alors que :
    f′′(x)=4e2x−2exf''\left(x\right)=4e^{2x} -2e^{x}
    Ainsi :
    f′′(x)=2ex(2ex−1)f''\left(x\right)=2e^{x} \left(2e^{x} -1\right)

    Question 2

    2ex−1>0⇔x<ln⁡(2)2e^{x} -1>0 \Leftrightarrow x<\ln\left(2\right)

    Correction
    La proposition est FAUSSE.
    • A=eln⁡(A)A=e^{\ln \left(A\right)} avec A>0A>0
    • eA>eB⇔A>B</li>e^{A}> e^{B}\Leftrightarrow A>B</li>
    • ln⁡(1A)=−ln⁡(A)\ln \left(\frac{1}{A}\right)=-\ln \left(A\right)
    2ex−1>02e^{x} -1>0 équivaut successivement à :
    ex>12e^{x} > \frac{1}{2}
    ex>eln⁡(12)e^{x}> e^{\ln \left(\frac{1}{2}\right)}
    x>ln⁡(12)x> \ln \left(\frac{1}{2}\right)
    x>−ln⁡(2)x> -\ln \left(2\right)

    Question 3

    La fonction f′f' est croissante sur [0;+∞[\left[0;+\infty\right[

    Correction
    La proposition est VRAIE.
    Il nous faut étudier le signe de f′′f'' afin d'obtenir les variations de f′f'.
    Nous savons que f′′(x)=2ex(2ex−1)f''\left(x\right)=2e^{x} \left(2e^{x} -1\right)
    Pour tout réel xx appartenant à l'intervalle [0;+∞[\left[0;+\infty\right[, 2ex>02e^{x}>0. Donc le signe de f′′f'' dépend alors de 2ex−12e^{x} -1.
    Or, d'après la question 22, nous avons vu que : 2ex−1>0⇔x>−ln⁡(2)2e^{x} -1>0 \Leftrightarrow x>-\ln\left(2\right).
    Comme 0>−ln⁡(2)0>-\ln\left(2\right), il en résulte que pour tout réel xx appartenant à [0;+∞[\left[0;+\infty\right[, nous avons bien 2ex−1>02e^{x} -1>0.
    De ce fait, pour tout réel xx appartenant à [0;+∞[\left[0;+\infty\right[, f′′(x)>0f''\left(x\right)>0 et de ce fait la fonction f′f' est strictement croissante sur [0;+∞[\left[0;+\infty\right[.
    Question 4

    La fonction ff est décroissante sur [0;+∞[\left[0;+\infty\right[.

    Correction
    La proposition est FAUSSE.
    Nous savons que f′(x)=2e2x−2ex+5f'\left(x\right)=2e^{2x} -2e^{x} +5 et que la fonction f′f' est strictement croissante.
    De plus : f′(0)=2e2×0−2e0+5=5f'\left(0\right)=2e^{2\times0} -2e^{0} +5=5. Ainsi f′(0)=5>0f'\left(0\right)=5>0.
    Le minimum de f′f' vaut 55 lorsque x=0x=0. Il en résulte donc que la fonction f′f' est strictement positive sur l'intervalle [0;+∞[\left[0;+\infty\right[ et de ce fait la fonction ff est strictement croissante sur [0;+∞[\left[0;+\infty\right[.

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