Concours Puissance Alpha 3 - Exercice 11

La proposition est VRAIE.
Il vous suffit de calculer les premières valeurs de la suite $$u_{n+1}=u_{n} +2n+3$$ , même si cela est demandé à la question $$2$$.
Ensuite tester les premiers valeurs de l'ALGO $$n$$°$$1$$ et nous trouverons les mêmes résultats.

La proposition est FAUSSE.
Nous savons que $$u_{0}=1$$ et que $$u_{n+1} =u_{n} +2n+3$$.
Ainsi :
$$u_{0+1} =u_{0} +2\times0+3$$ d'où $$u_{1} =1 +0+3$$ ainsi $$u_{1} =4$$
$$u_{1+1} =u_{1} +2\times1+3$$ d'où $$u_{2} =4 +2+3$$ ainsi $$u_{2} =9$$
$$u_{2+1} =u_{2} +2\times2+3$$ d'où $$u_{3} =9 +4+3$$ ainsi $$u_{3} =16$$
$$u_{3+1} =u_{3} +2\times3+3$$ d'où $$u_{4} =16 +6+3$$ ainsi

La proposition est FAUSSE.
En effet, d'après la question $$2$$, nous connaissons les valeurs de $$u_{1}$$ à $$u_{4}$$
Si, nous appliquons ALGO $$n$$°$$2$$, nous savons que $$u_{0}=1$$.
Si nous voulons calculer $$u_{1}$$, il faudrait procéder de la sorte : $$u_{1}=u_{0}+2\times0+1$$, qui est la traduction de $$U$$ prend la valeur $$U+2\times I+1$$. En effet, nous n'avons pas encore incrémenter la valeur de $$I$$ qui initialement vaut $$0$$. Ce qui nous donne $$u_{1}=2\ne4$$.

La proposition est VRAIE.
Nous allons effectuer un raisonnement par récurrence.
Pour tout entier naturel $$n$$, posons la propriété $$P_{n} :u_{n} =\left(n+1\right)^{2}$$
Etape d'initialisation
On sait que $$u_{0} =1$$ et que $$u_{0} =\left(0+1\right)^{2} =1$$ .
La propriété $$P_{0}$$ est vraie.
Etape d'hérédité
Soit $$k$$ un entier naturel. On suppose qu'à partir d'un certain rang $$k$$, la propriété $$P_{k}$$ est vraie c'est-à-dire $$u_{k} =\left(k+1\right)^{2}$$ et vérifions si la propriété est également vraie au rang $$k+1$$ c'est-à-dire $$u_{k+1} =\left(k+2\right)^{2}$$
Par hypothèse de récurrence :
$$u_{k} =\left(k+1\right)^{2}$$ , on rajoute $$2k+3$$ de part et d'autre de l'égalité (notre objectif est de faire apparaître dans le membre de gauche $$u_{k+1}$$)
$$u_{k} +2k+3=\left(k+1\right)^{2} +2k+3$$
$$u_{k+1} =\left(k+1\right)^{2} +2k+3$$ .
$$u_{k+1} =k^{2}+2k+1 +2k+3$$ .
Ainsi : $$u_{k+1} =k^{2}+4k+4$$ . Or $$k^{2} +4k+4=\left(k+2\right)^{2}$$
D'où : $$u_{k+1} =\left(k+2\right)^{2}$$
Ainsi la propriété $$P_{k+1}$$ est vraie.
Conclusion
Puisque la propriété $$P_{0}$$ est vraie et que nous avons prouvé l'hérédité, on peut en déduire, par le principe de récurrence que pour tout entier naturel $$n$$, on a $$P_{n}$$ vraie, c'est à dire que pour tout entier naturel $$n$$, on a bien : .