La proposition est FAUSSE.

$f$ est une fonction paire si pour tout réel $x$, on a $f\left(-x\right)=f\left(x\right)$.

$f$ est une fonction impaire si pour tout réel $x$, on a $f\left(-x\right)=-f\left(x\right)$.

Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $\left[-a;a\right]$.

Si $f$ est une fonction impaire sur l'intervalle $\left[-a;a\right]$ alors $\int _{-a}^{a}f\left(x\right) dx=0$.

Notons $f\left(x\right)=3x+5\sin \left(x\right)$
On vérifie que :
$f\left(-x\right)=3\times\left(-x\right)+5\sin \left(-x\right)$
$f\left(-x\right)=-3\times\left(x\right)-5\sin \left(x\right)$
$f\left(-x\right)=-f\left(x\right)$. Donc $f$ est bien une fonction impaire sur un intervalle de la forme $\left[-a;a\right]$, ici $\left[-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right]$
Il en résulte donc que :

$\int _{-\frac{\pi }{2} }^{\frac{\pi }{2} }3x+5\sin \left(x\right) dx=0$

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