La proposition est FAUSSE.
Dans un premier temps, nous allons calculer la dérivée de la fonction $f$ . Nous en aurons besoin dans la suite de l'exercice .
Soit : $f\left(x\right)=\left(\ln \left(x\right)\right)^{n}$

$\left(u^{n} \right)^{'} =n\times u'\times u^{n-1} $

On reconnaît ici $u^{n} $ où $u\left(x\right)=\ln \left(x\right)$ et $n=\red{n}$. Ainsi $u'\left(x\right)=\frac{1}{x}$.
Il en résulte que :

$f'\left(x\right)=n\times \frac{1}{x} \times \left(\ln \left(x\right)\right)^{n-1}$

Nous savons qu'une équation de la tangente au point d'abscisse $a$ s'écrit : $y=f'\left(a\right)\left(x-a\right)+f\left(a\right)$
Or, la tangente passe par l'origine du repère, ce qui signifie que $\red{x=y=0}$
Il vient alors :
$f'\left(a\right)\left(\red{0}-a\right)+f\left(a\right)=\red{0}$. On développe :
$-af'\left(a\right)+f\left(a\right)=0$
Comme $f\left(x\right)=\left(\ln \left(x\right)\right)^{n}$ alors $f\left(a\right)=\left(\ln \left(a\right)\right)^{n}$
Comme $f'\left(x\right)=n\times \frac{1}{x} \times \left(\ln \left(x\right)\right)^{n-1}$ alors $f'\left(a\right)=n\times \frac{1}{x} \times \left(\ln \left(a\right)\right)^{n-1}$
Nous obtenons alors :
$-af'\left(a\right)+f\left(a\right)=0$
$-a\times n\times \frac{1}{a} \times \left(\ln \left(a\right)\right)^{n-1} +\left(\ln \left(a\right)\right)^{n} =0$
$-n\left(\ln \left(a\right)\right)^{n-1} +\left(\ln \left(a\right)\right)^{n} =0$ . Nous allons factoriser par $\left(\ln \left(a\right)\right)^{n-1}$ .
$\left(\ln \left(a\right)\right)^{n-1} \left(-n+\ln \left(a\right)\right)=0$ . Il s'agit d'une équation produit nul.
$\left(\ln \left(a\right)\right)^{n-1}=0$ ou $ \left(-n+\ln \left(a\right)\right)=0$
$\red{\text{D'une part :}}$
$\left(\ln \left(a\right)\right)^{n-1} =0\Leftrightarrow \ln \left(a\right)=0\Leftrightarrow \ln \left(a\right)=\ln \left(1\right)\Leftrightarrow a=1$ .
Nous ne pouvons pas garder cette solution car $f_{n}$ la fonction définie sur $\left]1;+\infty \right[$ et donc $1 \notin \left]1;+\infty \right[$
$\red{\text{D'autre part :}}$
$-n+\ln \left(a\right)=0\Leftrightarrow \ln \left(a\right)=n\Leftrightarrow a=e^{n}$

Sujet inédit 8

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