La proposition est FAUSSE.
Pour cette équation que l'on appelle équation bicarrée, on va utiliser un changement de variable.
On pose $z=Z^{2} $.
Il vient alors que $Z^{4} -Z^{2} -12=0$ s'écrit alors $\left(Z^{2} \right)^{2} -Z^{2} -12=0$
Il en résulte que $\left\{\begin{array}{c} {z^{2} -z-12=0} \\ {z=Z^{2} } \end{array}\right. $
On utilise le discriminant

$\Delta =49$

Il existe donc deux racines réelles distinctes notées $z_{1} $ et $z_{2} $ tels que $z_{1} =\frac{-b-\sqrt{\Delta } }{2a} $ et $z_{2} =\frac{-b+\sqrt{\Delta } }{2a} $
$z_{1} =-3$ et $z_{2} =4$.
Or nous avons posé $z=Z^{2} $, il en résulte que
$Z^{2} =-3$ ou encore $Z^{2} =4$
Résolvons d'une part : $Z^{2} =4$.
Il vient alors que

$Z=2$

ou

$Z=-2$

Résolvons d'autre part $Z^{2} =-3$. On écrit alors $Z^{2} +3=0$
$\Delta =-12$, il existe donc deux racines complexes conjuguées notées $Z_{1} $et $Z_{2} $ tels que $Z_{1} =\frac{-b-i\sqrt{-\Delta } }{2a} $ et $Z_{2} =\frac{-b+i\sqrt{-\Delta } }{2a} $
Ainsi :

$Z_{1} =-\sqrt{3} i$

et

$Z_{2} =-\sqrt{3} i$

Finalement les solutions de l'équation $Z^{4} -Z^{2} -12=0$ sont : $S=\left\{-\sqrt{3} i;\sqrt{3} i;-2;2\right\}$
Les solutions complexes de $Z^{4} -Z^{2} -12=0$ sont $-\sqrt{3} i$ et $\sqrt{3} i$.
La somme des solutions imaginaires pures de l’équation $Z^{4} -Z^{2} -12=0$ est égal à zéro.

Sujet inédit 6

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