La proposition est VRAIE.

Les points $A,B,C$ et $D$ sont coplanaires s'il existe deux réels $a$ et $b$ tels que : $\vec{AB} =a\vec{AC} +b\vec{AD} $

Calculons maintenant les vecteurs : $\vec{AB} ,\vec{AC} $ et $\vec{AF} $.
$\vec{AB} \left(\begin{array}{c} {2} \\ {1} \\ {3} \end{array}\right)$ , $\vec{AC} \left(\begin{array}{c} {1} \\ {-1} \\ {2} \end{array}\right)$ et $\vec{AF} \left(\begin{array}{c} {3} \\ {12} \\ {1} \end{array}\right)$
$\vec{AB} =a\vec{AC} +b\vec{AF} $ équivaut successivement à :
$\left(\begin{array}{c} {2} \\ {1} \\ {3} \end{array}\right)=a\left(\begin{array}{c} {1} \\ {-1} \\ {2} \end{array}\right)+b\left(\begin{array}{c} {3} \\ {12} \\ {1} \end{array}\right)$
$\left\{\begin{array}{ccccc} {a} & {+} & {3b} & {=} & {2} \\ {-a} & {+} & {12b} & {=} & {1} \\ {2a} & {+} & {b} & {=} & {3} \end{array}\right.$
$\left\{\begin{array}{ccccc} {} & {} & {a} & {=} & {2-3b} \\ {-a} & {+} & {12b} & {=} & {1} \\ {2a} & {+} & {b} & {=} & {3} \end{array}\right.$
$\left\{\begin{array}{ccccc} {} & {} & {a} & {=} & {2-3b} \\ {-2+3b} & {+} & {12b} & {=} & {1} \\ {2\left(2-3b\right)} & {+} & {b} & {=} & {3} \end{array}\right.$
$\left\{\begin{array}{ccccc} {} & {} & {a} & {=} & {2-3b} \\ {} & {} & {15b} & {=} & {3} \\ {} & {} & {-5b} & {=} & {-1} \end{array}\right.$
$\left\{\begin{array}{ccccc} {} & {} & {a} & {=} & {2-3b} \\ {} & {} & {b} & {=} & {\frac{1}{5}} \\ {} & {} & {b} & {=} & {\frac{1}{5}} \end{array}\right.$
$\left\{\begin{array}{ccccc} {} & {} & {a} & {=} & {\frac{7}{5}} \\ {} & {} & {b} & {=} & {\frac{1}{5}} \\ {} & {} & {b} & {=} & {\frac{1}{5}} \end{array}\right.$
Il en résulte que $\vec{AB} =\frac{7}{5}\vec{AC} +\frac{1}{5}\vec{AF} $.
Les points $A,B,C$ et $F$ sont donc coplanaires.

Sujet inédit 5

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