La proposition est FAUSSE.

$f$ est une fonction paire si pour tout réel $x$, on a $f\left(-x\right)=f\left(x\right)$.

$f$ est une fonction impaire si pour tout réel $x$, on a $f\left(-x\right)=-f\left(x\right)$.

$f\left(x\right)=\left(\cos \left(\frac{x}{3} \right)\right)^{3}$
$f\left(-x\right)=\left(\cos \left(\frac{-x}{3} \right)\right)^{3}$
$f\left(-x\right)=\left(\cos \left(\frac{x}{3} \right)\right)^{3}$
$f\left(-x\right)=\left(\cos \left(\frac{x}{3} \right)\right)^{3}$

$f\left(-x\right)=f\left(x\right)$

Donc $f$ est une fonction paire.

$f$ est $T-$périodique si et seulement si $f\left(x+T\right)=f\left(x\right)$

Les fonctions cosinus et sinus sont $2\pi -$périodique, c'est-à-dire $\cos \left(x+2\pi \right)=\cos \left(x\right)$ et $\sin \left(x+2\pi \right)=\sin \left(x\right)$

$f\left(x+4\pi \right)=\cos ^{3} \left(\frac{x+4\pi}{2} \right)$ équivaut successivement à :
$f\left(x+4\pi \right)=\cos ^{3} \left(\frac{x}{2}+\frac{4\pi}{2} \right)$
$f\left(x+4\pi \right)=\cos ^{3} \left(\frac{x}{2}+2\pi \right)$
$f\left(x+4\pi \right)=\cos ^{3} \left(\frac{x}{2}\right)$
Ainsi :

$f\left(x+4\pi \right)=f\left(x \right)$

Donc $f$ est $4\pi$-périodique.

Sujet inédit 3

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