La proposition est FAUSSE.

Calculons d'une part :
$e^{V_{n} } =e^{\frac{2}{U_{n} -1} } $
$e^{V_{n} } =e^{\frac{2}{\frac{3n-7}{3n-5} -1} }$
$e^{V_{n} } =e^{\frac{2}{\frac{3n-7-3n+5}{3n-5} } }$
$e^{V_{n} } =e^{\frac{2}{\left(\frac{-2}{3n-5} \right)} }$
$e^{V_{n} } =e^{2\times \frac{3n-5}{-2} }$

$e^{V_{n} } =e^{5-3n}$

Calculons d'autre part :
$e^{V_{n+1} } =e^{\frac{2}{U_{n+1} -1} }$
$e^{V_{n+1} } =e^{\frac{2}{\frac{3\left(n+1\right)-7}{3\left(n+1\right)-5} -1} }$
$e^{V_{n+1} } =e^{\frac{2}{\frac{3n+3-7}{3n+3-5} -1} }$
$e^{V_{n+1} } =e^{\frac{2}{\frac{3n-4}{3n-2} -1} } $
$e^{V_{n+1} } =e^{\frac{2}{\frac{3n-4-3n+2}{3n-2} } } $
$e^{V_{n+1} } =e^{\frac{2}{\frac{3n-4-3n+2}{3n-2} } }$
$e^{V_{n+1} } =e^{\frac{2}{\left(\frac{-2}{3n-2} \right)} } $
$e^{V_{n+1} } =e^{2\times \frac{3n-2}{-2} }$

$e^{V_{n+1} } =e^{2-3n}$

Maintenant calculons le rapport :
$\frac{e^{V_{n+1} } }{e^{V_{n} } }=\frac{e^{2-3n} }{e^{5-3n} }$
$\frac{e^{V_{n+1} } }{e^{V_{n} } }=e^{2-3n-\left(5-3n\right)}$
$\frac{e^{V_{n+1} } }{e^{V_{n} } }=e^{2-3n-5+3n}$

$\frac{e^{V_{n+1} } }{e^{V_{n} } }=e^{-3}$

Finalement : $e^{V_{n+1} }=e^{-3}e^{V_{n} }$ donc la suite $\left(e^{V_{n} } \right)$ est géométrique et non arithmétique.

Sujet inédit 2

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Les suites

Les fonctions

Les probabilités

Trigonométrie