Soit g la fonction définie pour tout réel x par g(x)=5x2−2x−3 .
Question 1
Vérifier que 1 est une racine de g .
Correction
On vérifie facilement que 1 est une racine évidente de 5x2−2x−3=0. En effet, 5×12−2×1−3=0 .
Question 2
Sans calcul supplémentaire, déterminer le produit des racines de g .
Correction
Si un trinôme ax2+bx+c admet deux racines x1 et x2, alors la somme et le produit des racines sont égales à : S=x1+x2=−ab et P=x1×x2=ac .
Nous avons : 5x2−2x−3=0 ainsi a=5 ; b=−2 et c=−3 . Nous allons déterminer le produit des racines. Il vient alors que : P=ac=5−3
Question 3
En déduire la seconde racine de g .
Correction
Si un trinôme ax2+bx+c admet deux racines x1 et x2, alors la somme et le produit des racines sont égales à : S=x1+x2=−ab et P=x1×x2=ac .
Nous avons montré que 1 est une racine de notre trinôme. Nous allons donc poser par exemple x1=1 . D'après la question précédente : P=5−3 et comme P est également égale à P=x1×x2. Il en résulte donc que : x1×x2=5−3 1×x2=5−3 D'où : x2=5−3
Question 4
Donner la forme factorisée de g .
Correction
Nous savons maintenant que g(x)=5x2−2x−3 admet deux racines x1=1 et x2=5−3 .
Soit un polynome ax2+bx+c qui admet deux racines x1 et x2 alors sa forme factorisée est de la forme a(x−x1)(x−x2).
Il en résulte donc que : g(x)=5(x−1)(x−(−53)) g(x)=5(x−1)(x+53)
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