Savoir repérer et utiliser une racine évidente - Exercice 2

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Soit ff la fonction définie sur R\mathbb{R} par : f(x)=2x2+12x−32f\left(x\right)=2x^{2}+12x-32 .
Question 1

Vérifier que 22 est une racine de ff.

Correction
22 est une racine de ff si et seulement si f(2)=0f\left(2\right)=0. Il vient que :
f(2)=2×22+12×2−32f\left(2\right)=2\times2^{2}+12\times2-32
f(2)=2×4+12×2−32f\left(2\right)=2\times4+12\times2-32
f(2)=8+24−32f\left(2\right)=8+24-32
f(2)=0f\left(2\right)=0

Il en résulte donc que 22 est bien une racine de ff.
Question 2

En déduire la seconde racine de ff.

Correction
Si l'équation ax2+bx+c=0{\color{blue}a}x^{2}+{\color{red}b}x+{\color{purple}c}=0 admet deux racines x1x_{1} et x2x_{2} alors :
  • la somme des racines est égale à −ba-\frac{{\color{red}b}}{{\color{blue}a}} autrement dit x1+x2=−bax_{1}+x_{2}=-\frac{{\color{red}b}}{{\color{blue}a}}
  • le produit des racines est égale à ca\frac{{\color{purple}c}}{{\color{blue}a}} autrement dit x1×x2=cax_{1}\times x_{2}=\frac{{\color{purple}c}}{{\color{blue}a}}
    • Soit f(x)=2x2+12x−32f\left(x\right)=2x^{2}+12x-32 . Nous avons donc a=2a=2 ; b=12b=12 et c=−32c=-32 . D'après la question précédente, nous savons que 22 est une racine de ff . Notons alors x1x_1 cette racine.
    Nous savons que la somme des racines est égale à −ba-\frac{b}{a} autrement dit x1+x2=−bax_{1}+x_{2}=-\frac{b}{a}. Il s'ensuit que :
    2+x2=−1222+x_{2}=-\frac{12}{2}
    2+x2=−62+x_{2}=-6
    x2=−6−2x_{2}=-6-2
    x2=−8x_{2}=-8

    Les racines de ff sont alors x1=2x_1=2 et x2=−8x_{2}=-8

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