Problème numéro $$1$$ - Exercice 1

Soient $$x$$ un réel et $$a, b$$ et $$c$$ trois réels.
Introduisons une fonction $$h$$ tel que $$h(x)=(2 x+4)\left(a x^2+b x+c\right)$$ et qui vérifie également l'égalité $$h(x)=f(x)$$ .
Commençons par développer puis réduire l'expression de $$h$$ .
$$h\left(x\right)=\left(2x+4\right)\left(ax^2+bx+c\right)$$ équivaut successivement à :
$$h\left(x\right)=2ax^3+2bx^2+2cx+4ax^2+4bx+4c$$
$$h\left(x\right)=2ax^3+x^2\left(2b+4a\right)+x\left(2c+4b\right)+4c$$
Nous souhaitons déterminer les réels $$a$$, $$b$$ et $$c$$ tels que $$h(x)=f(x)$$
Or $$h\left(x\right)=\red{2a}x^3+x^2\left(\blue{2b+4a}\right)+x\left(\pink{2c+4b}\right)+\green{4c}$$ et $$f(x)=\red{2} x^3\blue{-10} x^2\pink{-16} x+\green{24}$$ .
Deux polynômes sont égaux si et seulement leurs coefficients respectifs sont égaux. On obtient donc le système suivant :
$$\left\{ \begin{array}{c} \begin{array}{ccc}\red{2a} & = & \red{2} \end{array} \\ \begin{array}{ccc}\blue{2b+4a} & = & \blue{-10} \end{array} \\ \begin{array}{ccc}\pink{2c+4b} & = & \pink{-16} \end{array} \\ \begin{array}{ccc}\green{4c} & = & \green{24} \end{array} \end{array}\right.$$ équivaut successivement à :
$$\left\{ \begin{array}{c} \begin{array}{ccc}a & = & \dfrac{2}{2} \end{array} \\ \begin{array}{ccc}2b+4a & = & -10 \end{array} \\ \begin{array}{ccc}2c+4b & = & -16 \end{array} \\ \begin{array}{ccc}c & = & \dfrac{24}{4} \end{array} \end{array}\right.$$
$$\left\{ \begin{array}{c} \begin{array}{ccc}a & = & 1 \end{array} \\ \begin{array}{ccc}2b+4a & = & -10 \end{array} \\ \begin{array}{ccc}2c+4b & = & -16 \end{array} \\ \begin{array}{ccc}c & = & 6 \end{array} \end{array}\right.$$
$$\left\{ \begin{array}{c} \begin{array}{ccc}a & = & 1 \end{array} \\ \begin{array}{ccc}2b+4\times 1 & = & -10 \end{array} \\ \begin{array}{ccc}2\times 4+4b & = & -16 \end{array} \\ \begin{array}{ccc}c & = & 6 \end{array} \end{array}\right.$$
$$\left\{ \begin{array}{c} \begin{array}{ccc}a & = & 1 \end{array} \\ \begin{array}{ccc} 2b& = & -10-4 \end{array} \\ \begin{array}{ccc}4b & = & -16-12 \end{array} \\ \begin{array}{ccc}c & = & 6 \end{array} \end{array}\right.$$
$$\left\{ \begin{array}{c} \begin{array}{ccc}a & = & 1 \end{array} \\ \begin{array}{ccc}b & = & \dfrac{-14}{2} \end{array} \\ \begin{array}{ccc}b & = & \dfrac{-28}{4} \end{array} \\ \begin{array}{ccc}c & = & 6 \end{array} \end{array}\right.$$
$$\left\{ \begin{array}{c} \begin{array}{ccc}a & = & 1 \end{array} \\ \begin{array}{ccc}b & = & -7 \end{array} \\ \begin{array}{ccc}b & = & -7 \end{array} \\ \begin{array}{ccc}c & = & 6 \end{array} \end{array}\right.$$
Il en résulte donc que pour tout réel $$x$$, on a : $$k(x)=(2 x+4)\left(x^2-7 x+6\right)$$ .
D'après nos hypothèses, nous avions posé pour tout réel $$x$$, $$h(x)=f(x)$$ .
Finalement, pour tout réel $$x$$, .

D'après la question précédente, nous savons que pour tout réel $$x$$, $$f(x)=(2 x+4)\left(x^2-7 x+6\right)$$ .
Ainsi $$f(x)=0$$ équivaut successivement à :
$$(2 x+4)\left(x^2-7 x+6\right)=0$$.
Il s'agit d'une équation produit nul.

$$\text{\red{D'une part :}}$$ résolvons $$2x+4=0$$ qui donne $$2x=-4$$ . D'où : $$x=-\dfrac{4}{2}=-2$$

$$\text{\red{D'autre part :}}$$ résolvons $$x^2-7 x+6=0$$
On reconnait une équation du second degré.
On va utiliser le discriminant :$$\Delta =b^{2} -4ac$$
Ainsi : $$\Delta =\left(-7\right)^{2} -4\times 1\times 6$$
$$\Delta =49-24=25$$
Donc :

$$\Delta >0$$

L'équation admet deux racines réelles distinctes notées $$x_{1}$$ et $$x_{2}$$ telles que :
$$x_{1} =\frac{-b-\sqrt{\Delta } }{2a}$$ ainsi $$x_{1} =\frac{7-\sqrt{25} }{2\times 1}$$ d'où $$x_{1} =1$$
$$x_{2} =\frac{-b+\sqrt{\Delta } }{2a}$$ ainsi $$x_{2} =\frac{7+\sqrt{25} }{2\times 1}$$ d'où $$x_{2} =6$$

Les solutions dans $$\mathbb{R}$$ de l'équation $$f(x)=0$$ sont donc .